Question

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

(1)のマーカーを引いたところの考え方を教えてください🙇‍♀️

AER
7 αを実数とし, 数列{xn} を次の漸化式によって定める.
Xi=a, In+1=In+xn2 (n=1, 2, 3, ...)
(1) α> 0 のとき, 数列{x} が発散することを示せ.
(2)-1<a<0 のとき, すべての正の整数nに対して -1<
つことを示せ.

7
Xn+1 = Xn+xn²
(1)
(1) In+1-Xn=xn2>0より, In+1> In であるから
(4)
Xn+1−xn=xn²>x₁²=a²
ゆえに, n→∞のとき
n-1
Xn=X1+Σ(Xk+1−xk)>a+(n−1)a² → ∞
k=1

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

Q&A専

黄色部分は「初項+それぞれak+1とakの差」で表現されており、等差数列の一般項の式と同じ形にしています。なので不等式を利用して、元の数列xnが、初項a,公差aの等差数列のanよりも常に大きいことを示しています。そのため、anが明らかに発散することからxnも発散と分かります。

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

等差数列だったんですね！ありがとうございます！

Q&A専

少しややこしいのですが等差数列ではないです...
xnについて分かっているのは、初項a公差aの数列anよりも大きいということ「だけ」分かっています。
なので、xnは正体が分からないけれど、発散するかどうかが分かるクセのある数列です。

Q&A専

かが分かる変わった数列です

𓆩 (*´▽`*)✿𓆪

xn-x(n+1)が一定ではないから∑を使って表しているんですね！ありがとうございます！