Z40を原点とする座標平面上において、3点O, A (8,0),B(0, 4) を通る円をCとする。
(1) Cの方程式を求めよ。
(2) Cの中心をDとし, 点AにおけるCの接線をl とする。 l の方程式を求めよ。また,
直線ODとの交点をPとし, △APBの面積をSとする。 Sを求めよ。
2
(3) (2) のとき,C上 (ただし, 点Aを除く)に点Qをとり、△APQの面積をTとする。
9
=
10
であるとき 点Qの座標を求めよ。
1円の半径の
公式
(配点 40)
TS
D
直線ABの傾きは 1=0=-1/
A
A
AB ⊥l であるから,lの傾きは 2
2直線l1, l2の傾きがそれぞれ
よっては点A(8, 0) を通り, 傾きが2の直線であるから,その方程式
m1, m2 であるとき
は
ll mm2=1
y=2(x-8)
すなわち
B
y=2x-16
次に,(1)よりD(4.2)であるから,直線ODの方程式は y=1/2x
直線ODとの交点Pのx座標は
x=2x-16
自分の解答を振り返ろう
円 C の接線と直線ABが垂直であることからの傾きを求めることができた。
完答への
道のり
(3)
Blの方程式を求めることができた。
© 直線ODとの交点Pの座標を求めることができた。
解法の糸口
2点間の距離の公式を用いて, 線分APの長さを求めることができた。
△APB の面積Sを求めることができた。
APBとAPQは,辺APを共通の底辺とすると,面積比と高さの比が一致する。 点QがC上にあること、
および点Qとeの位置関係に注意して,点Qの座標を求める。
yA
Q
B
/R
H
=-16
x=
このとき、点Pのy座標は1/2=1/08
O
C
A
x
直線を求めたい
点Qからℓに引いた垂線との交点をHとする。
△APB と △APQ について, 辺 AP を底辺としたときの高さはそれぞれ
BA, QH であるから,=1のとき QH 9
BA 10
よって, 線分AB を 9:1 に内分する点Rを通り, ℓに平行な直線をと
すると、 点Qは円Cと直線の交点である。
© ■
よってP (2,
A(8, 0), P(326)
O
AP = √(* −8)* + (** −0)' - √(3)* +(?) - {√*+* - *5
8,5
点の座標は (1×8+9×0 1×0+9×4
2点間の距離
9+1
x0+9×4) すなわち (11/08) であり、
また,線分AB は円Cの直径であるから AB=45
以上より, APB の面積Sは
2点(x1,y), x2,y2) の間の距
離は
直線の傾きは2であるから, mの方程式は
→傾きととおる慌
or
2点(踊る)
内分点の座標
2点(x1,yi) (x2,y2) を結ぶ線
分をmin に内分する点の座標は
☐
S=
23
=1.8/5475
80
4√5=
(x2-x)+(2-3)"
ℓの傾きが2であるから
y=2x+2
80
1:25 の直角三角形を考えて
圈 l: y=2x-16, S=
3
√5x (A,Pのx座標の差)
とし
AP = √5×(32-8)=8√5
と求めることもできる。
これをCの方程式 x+y²-8x-4y=0 に代入して
x+(2x+2)-8x-4(2x+2)=0
5x8x-4=0
(5x+2)(r−2)=0
x=
2
②より、x=2のとき= 1; x=2のとき y=6
したがって,点Qの座標は - 23, 23)または(2,6)である。
.. ②
Q(-1/2, 3)またはQ(2,6)
nx+mx2
ny+myz
m+n
m+n
[(3)の別解〕
B
C
D
A
H
P
点 Qからlに引いた垂線との交点をHとする。
△APB と △APQ について, 辺 AP を底辺としたときの高さはそれぞれ
T
BA, QH であるから, 1=1のとき
QH
BA
誤= すなわち QH-BA-1×4/5=18.5
5
9
10
ここで, Q(u, v) とおくと, 点 Q は C上の点であるから
(u-4)+(v-2)² = 20
また、線分 QH の長さは,点Qとl: 2x-y-16=0 の距離であるから
|2u-v-16|
QH =
√2+ (−1) 2
|2u-v-16|
√√5
ここで,点Qはℓの上側にあるから
>2u-16 すなわち 2u-v-16 < 0
よって,QH=1875 であることとあわせて
-(2u-v-16) 18/5
√5
2u+v+16=18
v = 2u+2
④ ③に代入して
5
(u-4)+{(2u+2)-2}2=20
(u2-8u+16)+4u² = 20
5u2-8u-4=0
(5u+2)(u-2)= 0
点と直線の距離
点(x1,y) と直線 ax+by+c=0
の距離を d とすると
d=
|ax1+by+cl
√a2+62
HD 2A8
④
④は,lの上側の領域にあり!
当
との距離が 18√5
である点の軌跡
5
が, 直線 y=2x+2 であることを
意味する。
2
u =-
2
5'
④より, u-
2
のとき v= =m; u=2のときv=6
したがって,点Qの座標は (23,108) または (2,6)である。
2
Q-13, 3) または Q(2,6)
すみません，解けました。本当に自分が場合分けを間違えてました。