✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
高校生でも外積を使う人はなかなかいないですが、正しく計算できているので良いと思います
中学生の知識だと正三角形、直角二等辺三角形の知識を使い解くことになります
（1:1:1、1:1:√2、2:1:√3、相似、三平方の定理などを用いる）
中学知識で解くと計算は少ないのですが、補助線を伸ばしたり、
図形を縦横上で観察する必要があるので、
空間図形が得意でないと時間がかかります（時間がかかりました～）
優秀な中学生は気づくと一瞬で解いてしまうでしょう。
（１）
・MPの長さ
△ABCは正三角形だから、∠A(∠BAC)=60°
△AMP（AM=2、AP=1、∠A=60°）は正三角形の半分で、MP=√3
・PNの長さ
PからBPに垂線を下し点Rとし、BRの長さ=√(3²-(4√2×3/8)²)=3√2/2
RN=BN-BR=2√2-3√2/2=√2/2
PN=√(BR²+RN²)=√{(3√2/2)²+(√2/2)²}=√5
・MNの長さ
△BCDは直角二等辺三角形（辺の比が1:1:√2）なので、
△BCNは直角二等辺三角形∠N(∠BMC)=90°→CN＝2√2
△ABDは直角二等辺三角形（辺の比が1:1:√2）なので、
△ABNも直角二等辺三角形∠N(∠ANB)=90°→AN＝2√2
AN＝2√2、CN＝2√2、AC=4より、△ACNは直角二等辺三角形であり、
△MNCも直角二等辺三角形∠M(∠NMC)=90°→MN＝2
（２）
PMを延長するとBCの延長線上で交わり、その点をSとすると
このときPS=3√3（PMの３倍）となっている
NからSへ伸ばした線はNQと同一線上であり、
QはNSの中点にあるのでCQ=1が求まる
・NSを真上から見て求めると2√5になっている（三平方）。
△MCQは、∠MCQ60°で、2:1:√3の比になり、MQ=√3
四角形PNQMの辺は、√5,√5,√3,√3になっているので対角線は直交している。
対角性の1つNM=2は分かっている。
もう１つの対角線の長さを求めると√11（三平方）
四角形PNQMの面積=2×√11÷2=√11
