Question

KIT

D＝０としたときは2つの与式が接する場合だとはわかりますが、これで(0,3)で接するのはなぜ含まれていないのでしょうか

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重要 104 放物線と円の共有点接点
放物線y=x+αと円x+y=9について、次のものを求めよ。
(1)この放物線と円が接するとき、 定数αの値
(2)異なる4個の交点をもつような定数の値の範囲
指針 放物線と円の共有点についても、これまで学習した方針
接点
共有点実数解
で考えればよい。
この問題では、xを消去して、yの2次方程式(yu)+データの
実数解解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも
注意。
(1)放物線と円が接するとは、円と放物線が共通の接線をも
つことである。この問題では、右の図のように、2点で接する
場合と1点で接する場合がある。
(2)放物線を上下に動かし、(1)の結果も利用して条件を満たす
の値の範囲を見極める。
0001
147
接する
2点です
xを消去すると、
(1) y=x'+α から
x=y-a
解答
これをx+y=9に代入して
よって y²+y-a-9=0
ここで,x2+y=9から
(y-a)+y2=9
次方程式が導かれる。
①
x2=9-20
ゆえに
-3≤y≤3
[1] 放物線と円が2点 [1]
で接する場合
D
[2]
a=-3
34
2次方程式 ①は②の
3
3
3-
範囲にある重解をもつ。3
よって、 ①の判別式を
13
0
0
AM
-3
13
-30
Dとすると D=0
D=12-4-1-(-a-9)
=4a+37
37
であるから
4+370 すなわち
a=―
4
このとき、①の解はy=- 12となり、②を満たす。
2次方程式
by² +qy+r=00
[2] 放物線と円が1点で接する場合
重解はya-
図から, 点 (0.3), (0, -3) で接する場合で α=±3
以上から、求めるαの値は a1-
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは,右の図から、
頂点の座標に
34
37
±3
4
放物線の頂点 (0, 4)が,点 (0.2) から点 (0-3)
を結ぶ線分上 (端点を除く)にあるときである。
したがって
-37 <a<-3
4

２次関数

Answer 1

GDO

xで解いても,yで解いても重解は接点になるのですが、
y=x²+aなので、xの4次方程式になっています。
yが重解であっても、xの解は2つあります（2か所で接点がある…a=-37/4のとき）。
もうひとつ注意が必要なのは、ｙの解が1つであってもxが重解になります。
y=x²+aを変形するとx=±√(a-y)なので、重解は無いように見合えますが、
y=aのときx²=0、x=0で重解になっている…これが見つけられていない。
これはa=±3になります。
ーーーーー
微分を学習していれば、xの４次式から極大値、極小値がx軸と接するようにaを求めると解けます。
4次式：x⁴+(2a+1)x²+a²-9、x=0で極大,x²=-a-1/2で極小
このときのxを代入すると、4次式=0となるのはa=±3、-37/4のとき。
接点のxの値x=0,x=±√35/2がわかります。

GDO

最初の方のコメントで「重解」、「解が2つ」などの語句の使い方がおかしい部分や誤植がありますが、読み取ってください。🙇‍♂️
不明点あればコメントください