Question

Ｊ

直線束の考え方がよく分かりません
87ページの内容を説明して頂きたいです😭
その上で、例題13も説明して頂きたいです

束の考え方
1つの共有点をもつような2つの直線
ax+by+c=0
ax+by+c=0
...... ②
87
があるとします.ここで、①の式に②の式をを倍して足した新しい式
(ax+by+c)+k(a'x + b'y + c') = 0
を作ってみましょう.これもやはり直線の方程式になります。 ③の式から②の
式のk倍を引き算すれば① の式が作れるのですから, 「①と②」の式と「②と
③」 の式は同値です。つまり、図形的に見れば、 ①と②の2直線の交点と②と
③の2直線の交点は一致することになります。
一致する
*
このことより,
③は(kの値によらず) ①と②の交点を通る直線である
ということがいえます. ③において, kの値をいろ
いろと変化させてできる直線の集まりは一点で結わ
れた直線の束に見えるので,直線束と呼ばれていま
す. これを利用すると, 2直線の交点を通る直線を
実際に交点を求めることなく扱うことができるので
とても便利です。
コメント
んの値が動くと
直線が動く
直線束
第3章
この束には、②の直線は含まれません,これは, 「同値関係」を考えてみれ
ばわかります. もし③が② に一致するならば, 「③と②の共有点の集合」は直
線 ②全体になってしまいますが,「①と②の共有点の集合」 は1点ですので、
同値であることに矛盾してしまうのです. 一方, ②の直線上にない点を
(p,g) とすると,ap + b'y + c'≠0 ですので,③が(p, q) を通るようなkの
値を決めることができます (③ に (p, g) を代入したものはんの1次方程式にな
るので,それを解けばいいのです) つまり,③は 「①と②の交点を通る ②以
「外のすべての直線」 を表せることがわかります.

88 第3章 図形と方程式
練習問題 13
(1) 2直線 3.+5y-2=0と7x-3y-2=0 の交点と点 (1,1)を通る直
線の方程式を求めよ.
(2) αを実数とする. 直線 (α+2)x+(2a-5)y-4a+1=0はαの値に
よらず定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ.
精講
(1)は、もちろん実際に交点を求めてから直線の方程式を作ることも
できますがここでは前ページで説明した 「直線束」の考え方を利
用してみましょう。 (2)も,αで整理すると直線東の形をしています。
解答
(1) 3.z+5y-2=0 と 7.x-3y-2=0 の交点を通る(7æ-3y-2=0 以外の)首
線は
3.x+5y-2+k(7x-3y-2)=0 ... ①
と表すことができる. これが (1.1) を通るので,
6+2k=0 すなわち k=-3
これを① に代入すれば
コメント
3.x+5y-2-3(7x-3y-2)=0 すなわち 9x-7y-2=0
2直線の交点を実際に求めると1 となり,この点と (11) を通る
2
11
直線の式を求めても同じ結果が得られます.ただ,束の考え方を使えば,この
交点を求めることなく答えが得られるのがポイントです.
(2) 与えられた式をαで整理すると
(2x-5y+1)+α(x+2y-4)=0
この直線はαの値によらず2直線 2x-5y+1=0 .....③ と
x+2y-4=0 ･･･ ④ の交点を通る. ③ ④ を連立方程式として解けば
(x,y)=(21) となるので,②はαの値によらず定点 (2,1) を通る.
コメント
これは,②がαの値によらず成立する,つまり②がαについての恒等式とな
るような (x,y) の値を求める問題であると見ることもできます.そのための
条件は,②をαの1次式と見たときの係数がすべて0になること、つまり③
④が成り立つことです.