Question

Y

数学　数列
最後の解説の部分をもう少し詳しく教えていただきたいです。
計算は分かったのですが、なぜ階差数列の形にすることでanの最小値が求まるのかが分かりません。

例題14
an=2"-40nで定義される数列{a}の最小値を求めよ。 ただし, nは自
然数とする。
解答 an+1-a=2"+1-40(n+1) - (2"-40m)
=2.2"-2"-40
=(2-1)・2"-40
=2"-40
an+1-a„=2"-40>0とおくと,これをみたす最小の自然数nは6
よって,n≦5のとき, aμ+1-a< 0
n≧6のとき,an+1-a>0である。

よって, 求める最小値は,
のときで-176である。 (答) - 176
解説 +1-aの値の正負を調べ,第何頃より項の値が増加に変わるか
を調べる。

Answer 1

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ブドウくん

確率の最大値の問題で、P(n)とP(n+1)の比をとってその値と1との大小を比較するという方法があります。それと同じで、n+1番目とn番目を比較して最大最小を調べるという手法です。確率の場合はそもそもが分数だし、階乗が出てくるから約分しやすいということもあって分数の形（つまりP(k+1)/P(k)の値）を調べますが、数列の場合は単に引き算で十分です。1,4,7,10のように増えている場合は、a(k+1)-a(k)は正の値だし、20,18,16,14のように減っている場合は負の値になります。2のn乗-40は、nが小さいうちは負の値を取り、大きくなると正の値をとるので減少してから増加する数列だとわかります。下に凸の2次関数をイメージするとわかりやすく（実際には指数関数ですが）、その最小値は減少から増加に転じるところだとわかります。

ブドウくん

(補足)少し計算が面倒ですが、比をとっても解けました。確率P(k)もkが自然数しか取らないのであれば、数列とみなせます。したがって、小数等では意味をなさない、k=1,2,3,...しか値を持たないような列（数列）の最大、最小は、差を取るor比をとると覚えておくと良いです。

Y

回答ありがとうございます！グラフをイメージしたら少し理解できました！
an+1-anの値が、正の値と負の値になる境目が分かれば良いということでしょうか…？

ブドウくん

そうです。

Y

理解しました！丁寧に書いていただきありがとうございます！🙇‍♀️