Question

なにぬねの

数1A 整数の性質
鍵括弧の範囲までは理解したのですが、それ以降の解説(どうしてあまりの数がわかるのか、矛盾すると言えるのか)よくわかりません。

基礎問
242 第9章 整数の性質
145 整数の余りによる分類
a+b2=c2 をみたす自然数a, b, c について, 次の問いに答えよ.
(1)/ 自然数a, b, cのうち,少なくとも1つは偶数であることを
示せ.
(2) 自然数a,b,c のうち,少なくとも1つは3の倍数であるこ
とを示せ.
(1) (a, b, c) の組をそれぞれが偶数か奇数かで分けると
2×2×2=8 (通り) ありますが,問題では,そのうちの 「 a,b,c
はすべて奇数」は起こらないことを示してほしいといっています。
このようなとき、背理法 (24) が有効です。そのまま考えると示さなけれ
ばならないこと (結論)は7つの場合ですが,否定すれば1つの場合しかな
いからです.これは, 確率の余事象の考え方と同じです。
(2)原則的には(1)と同じですが 「少なくとも1つは3の倍数」を否定すると,
「すべて3の倍数でない」 となり,3の倍数でないことを式で表現する部分
が (1)より難しくなります。
3でわった余りが0, 12 (144) の3つなので3n, 3n+1, 3n+2と3
つに分けて考えますが,ここでは,必要なものが2乗なので 「2余る=1足
らない」と考えて3n, 3n±1 とおいた方が計算がラクになります.
参
注
だか
りえ
3
3n
(3
3で
考
すると,
場合を
たと
4n
と表せ
演習
解答
(1) a, b, c がすべて奇数とすると,
d', b', c2 もすべて奇数だから,'+62は偶数(奇数)²=奇数
これは,d'+b2=c2 であることに矛盾する.
以上のことより, a, b, c がすべて奇数ということはない.
すなわち, a, b, c のうち少なくとも1つは偶数である.
(2) a, b, c がすべて3の倍数でないとすると,
すべて3n±1 の形で表せる.
(3n±1)2=9m²±6n+1
=3(3m²±2n) +1
演習問

だから,b,c2 はすべて3でわると1余る.
201
243
よって、+3でわると2余り, c2は3でわると1余る。
これは,a2+b2=c2 であることに矛盾する.
以上のことより,
a
b c がすべて3の倍数でないということはあ
三よ.
を
こ
,b,c
います。
なけれ
しかな
ると,
る部分
りえない.
すなわち, a,b,cのうち少なくとも1つは3の倍数である.
13でわると1足らない) の代わりに
+2 (3でわると2余る) を使っても,
(3n+2)2=9m² +12n+4
=3(3n²+4n+1)+1 となり,やはり
3でわると1余ることが示せます。
(2) 「すべての整数が3n, 3n+1,3n+2 の形のどれかであるこ
とを利用して解答をつくりましたが,このように整数を「わっ
た余りに着目して分類」 したものを剰余系といいます。これを利用
すると、無限個ある整数で議論しなければならないはずなのに、たった3つの
場合を調べればすむので,とても有効な考え方です。
たとえば、4でわった余りに着目すると, すべての整数が
4n+i (i=0, 1,2,3)
と3
=1足
せます.
演習問題 145(1)では,a=2n+i (i=0,1) とおくとうまく証明できます。
ポイント
整数nはかわった余りを利用して,
n=pm+r(r=0, 1, ..., 1) と表せる
Date
演習問題 145
(1) 整数αを2乗して4でわると,わりきれるか1余るかのどちら
かであることを示せ.
(2) 2次方程式 2-4.x-2m=0 (m: 整数) が整数解αをもつと
キ
m
け偶数であることを示せ.
第9章

Answer 1

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和

カギ括弧で、
　(3の倍数でない整数)²は3で割って1余る整数である
ということがいえています
（3×(整数)+1で表される数は、3で割って1余る数です）

3辺a,b,cがすべて「3の倍数でない数」だとすると、
a²,b²,c²すべて3で割って1余る数です

よって、a²+b²は3で割って1余る数を2つ足したものなので、
a²+b²は3で割って2余る数です
（a²=3M+1, b²=3N+1とおくとa²+b²=3(M+N)+2だから）

一方c²は3で割って1余る数だから、
a²+b²とc²は一致するはずがありません
（3で割って1余り、かつ2余る数はありません）

これは与えられたa²+b²=c²に矛盾します