Question

らすく

(2)の問題です。
接線は接点になる線のことなのに、どうしてこの問題は接しているだけで接線とみなしているのですか？

460 曲線 C: y=x+3x2 について, 次の問いに答えよ。
(1) C上の点P (t, t+3t2) におけるCの接線が点A(0, α) を通るとき,
等式 2t3+32 + α = 0 が成り立つことを示せ。 (x)=曲
(2) 点Aを通るCの接線が3本存在するとき, αの値の範囲を求めよ。

460
(2) 3次関数のグラフでは、接点が異なると
接線も異なる。 よって、接線の本数は接点の
個数と一致する。
(2)
(3)
(1) y=x+3x2について
y=3x2+6x
よって、点P (1,331) におけるCの接線の方
程式は
y-(13+312)=(312461)(x-1)
(4)
すなわち y=(312+61)x-21-312
これが点A(0, α) を通るとき
a=(312+61) 0-213-312
すなわち 213+312+a=0
(2)3次関数のグラフでは, 接点が異なれば接線も
(
異なる。
(6
ゆえに,Aを通るCの接線の本数は,tの方程式
① の異なる実数解の個数に一致する。
① を変形すると
-213-3t2= a
大学
46
_f(t)=-23-3t2 とおくと
(1
f'(t) = 0 とすると
f'(t)=-6t2-6t=-6t(t+1)
f(t) の増減表は次のようになる。
t=-1,0
dist
t
...
-1
...
0
10=p
f'(t)
0
+
0
極小
極大
f(t)
-1
よって, y=f(t) のグラ
y↑
フは,右の図のように
なる。
-1
0
+ +
t
このグラフと直線 y=a
の共有点の個数が, 方程
a
y=a
-1-
式 ① の異なる実数解の
個数, すなわち接線の本
数に一致する。
したがって, 接線が3本存在するとき, αの値の
範囲は-1<a<0
小

微分

Answer 1

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BaSO4

さっと読んだだけなので違ったらごめんなさい。
(1)の式はAを通るCの接戦の方程式なのではないでしょうか。
なので(1)の式が成り立つとき接線が存在している。
(2)で求めているのは(1)の式の解の数。
だから、(2)の交点の数が接線の数となる。

らすく

やっぱり交点の数と接線の数が等しいのですね！ありがとうございます🙇‍♀️

BaSO4

交点がある→接線の式が成り立つ点がある→接線がある
こんな感じだと思われます。