Question

とりっぴー

見にくくてすみません、（3）についてですが、なぜ定積分の範囲を０から4πから、０から2πにしていいのでしょうか。回答よろしくお願いします！

7 サイクロイド型
半径2の円板がx軸上を正の方向に滑らずに回転するとき 円板上の点Pの描く曲線Cを考える。
円板の中心の最初の位置を (02), 点Pの最初の位置を (0, 1) とする.
(1) 円板がその中心のまわりに回転した角を0とするとき,Pの座標は(20-sin0, 2-cose)で
与えられることを示せ.
善さ
(お茶の水女子大 理/右ページに続く)

体積を求めよ.
サイクロイドでよく出る問題
この座標を求めよ.
この父息をQ
(3) 由線Cと軸, 2直線x=0, x=4πで囲まれた図形を軸のまわりに回転してできる立体の
w) (p)
(お茶の水女子大・理)
曲線の長さといった設問が多い。似たような式が出てくるので,このうちのいくつかを実際に計算して
おく、という程度でよいだろう。式の形を一度は見ておこう.
サイクロイドなどの曲線では、接線 法線, 面積 回転体の体積,
解
D
P (20-sin0, 2-cos) を (x, y) とおく。
YA
dx
dy
する
(2)
-=2-cos 0,
= sin より
de
de
C1+
このような問題では,
dy_dy/do
sin
dx
1
=yとなることが多い.
de
dx dx/de
2-cos
2-cos
法線PQの傾きは,
(0)
10
X
%
Q
4π X
sin
であり,y=2-cos0だからgr=sin0
よって, Q(g, 0) とすると, PQの傾きについて
sin
0-y
2-cos
1+1=
=
9-x
sin
::PQ=√sin20+(2-cos0)²=√5-4cos
....①PQ=√(a-x)² + y²
=mのときはP(2π, 3), Q(2π,0) だからPQ=3で,このときも①は成り立
①で-1≦cos0 <1なので、 ① は cos0=-1 (0=z)のときに最大になり,
そのときの点Pの座標は (2,3)
(3) 求める体積は,
4
2n
Sony² dx = f² ny².
=π
2π
dx d0=1"(2-cos0)2 (2-cos0)d0
do
0
2π
(8-12cos0+6cos2d-cos30) do="" (8+6cos20) do
0
coel (x) 12π
=x "" (8+3(1+cos20))do=110+
x [110 + 32 sin 20 ]**
110+12/28
Y = cosのグラフ (下図) から,
cost, cos' 0 の積分が0になるこ
とがわかる.
=22π2
π
0

Answer 1

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GDO

積分を変数変換(x→θ)しているので、
x=2θ-2sinθのとき、
xの範囲:0～4π → θの範囲:0～2π
に変えています。

とりっぴー

分かりました、ありがとうございます！！