Question

れもん

無限等比級数の範囲について質問です。
赤線部のようにありますが、式の中にひとつでも発散するものがあれば、式全体は発散するということですか？🙏🙇🏻‍♀️

[2] r≠1 のとき
S„=a+ar+ar²+...... + arn-1 = a(1 − r)
②
1-r
a
a
1-r
1-r
a
<1のとき, lim=0であるから
lim Sn=
n18
1-1
n→∞
r≤-1または>1のとき 数列{r"} は発散するから,②によ
り無限数列 {Sn} も発散する。

無限等比級数

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

> 式の中にひとつでも発散するものがあれば、式全体は発散するということですか？

そうとは限りません
0×(発散するもの)は発散とは限らず、
発散するときもあるし、収束するときもあります

a≠0という前提があるのではありませんか？
だから②は(定数)+(0でない定数)×(発散するもの)
となり、全体としては発散します

れもん

回答ありがとうございます🙏✨
0×(発散するもの)は収束すると思っていたのですが、発散するのはどういう場合でしょうか🙇‍♀️

和

n→∞のとき、
1/n→0、1/n²→0、n²→∞です

(1/n)×nは「0×∞」の形で、1に収束します
(1/n²)×nは「0×∞」の形で、0に収束します
(1/n)×n²は「0×∞」の形で、発散します
このように、「0×∞」の形は、
それだけだと収束か発散かわからないので、不定形といいます

れもん

分かりました！ありがとうございます🙏！！
0×(発散するもの)は収束するときと発散するときがあっても、(0でない定数)×(発散するもの)は必ず発散するのですか？🙇🏻‍♀️

和

はい、発散します

れもん

理解出来ました！ありがとうございます🙏✨！