Question

Y

数学『数と式』

画像の問題の赤ラインのところで、なぜf（x）÷x^2+3x+4ではなく、ax^2+bx+cをx^2+3x+4で割るのでしょうか。

教えていただけると幸いです。
よろしくお願いいたします🙇‍♀️

例題16
xの整式 f(x) をx+3で割ると余りが10となり,+3x+4で割ると余り
が25x-3となる。 このとき, f(x)を(x+3)(x2+3x+4)で割ったときの余り
を求めよ。
解答 22x2 +91x + 85
解説 f(x)を(x+3)(x2+3+4) で割ったときの余りは,(x+3)(x+3+4)
が3次式であるから,2次式以下である。 したがって商をQ(x), 余
りを axe +bx+cとおくと
f(x) = (x+3)(x2 + 3x + 4)Q(x) + ax + bx + c ・・・ ①
余りのax+bx+c を x + 3x + 4 で割ると
a
x2 + 3x + 4 ) ax2+bx+c
ax2 + 3ax + 4a
(b-3a)x + (c-4a)
この余りの (b-3a)x + (c-4a) が25x-3であるから,① より
b-3a =25 ...②
c-4a=-3 ...③
また,f(x) をx+3で割ると余りが10であるから
f(-3)=9a-36+ c = 10 ... ④
②③④より, a=22,691,c=85
よって求める余りは, 22x2+91x + 85
(←剰余の定理)

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

sin theta

f(x)をx^2+3x+4で割った余りは既に25x-3とわかっているので，f(x)を割っても新しい情報が出てこないからです。

Y

回答ありがとうございます！
新しい情報を得るためだったのですね。

ax^2+bx+c÷x^2+3x+4のあまりである(b-3a）x＋（c-4a)が25x-3と言える理由がまだよく分からなくて…
もして可能であれば教えていただきたいです。

sin theta

①の式の(x+3)(x^2+3x+4)Q(x)の部分はx^2+3x+4で割り切れますよね。なので①の式を「x^2+3x+4でf(x)を割り算している」と見ると，ax^2+bx+cの部分はまだ割り算ができます。
よってax^2+bx+cをx^2+3x+4で割った余りが元のf(x)をx^2+3x+4で割った余りと等しくならなければなりません。よってb-3a=25, c-4a=-3と分かります。

Y

回答ありがとうございます！
理解できました！とっても丁寧にご説明いただき、ありがとうございました🙇‍♀️