ページ1:

一行列式 (determinant)
2×2行列の行列式
行列A: [cd] に対して、abcdを
Aの行列式とよび、 1A1
be
cd
cal det (A)と表す
-3×3行列の行列式
all a 12 a 13
a21a22a23=ana22a33+a21a32a13+a31a23a12-a13a22a31-a12a2033-ai(32G=3
a31a32 a33|
<覚え方> +
余分に書く
↓
212 213 211 212
10.210.22 0.23 0.21 a22
310322043031932
(ex)
・23
2
0
1 0
23 4
2 0
2
2
=
0
2
8+0+(-3)-(-2)-(0)-(0)
71

ページ2:

性質
(1)転置不変性
転置行列の行列式は、もとの行列式と一致する。
1A1=lAt
転置とは?→行列成分を対角線で折り返したもの
Xall 012
All A21
A =
At=
021022
a12a22
012
013
all a 21 a 31
A =
a21
Q22 a23
At
031
032 033'
012 a22a32
a13a23a33
行→列へ
(ex) 2×2 行列式
all a 12
an
a21
a1a22
列→行へ
(2)交代性
a21 a22
任意の2列を入れかえると、行列式は(-1)倍される
a
a 12 all
all
0112
au
a21
a22a23
a23 a22a21
031
a23
033
033 023 ası
(ex)
/ 0 0
0
/
0 1 0
= 1
0
0
00
0 0

ページ3:

(3) 多重線形性
ある行(列)の定数倍をの行(列)を
加えても行列式の値は変化しない
a1a12a13)
xk G
911
a12
913
021 022
a23
=
au+kan
022+012
az3+kai3
a31 a32 a33
031
a32
a33
(ex)
X
P S
/ P
S
0 P
S
yqt
Z
r
= X
oqt + J / & t
0
+Z
0
h
u
r
0
3
°
どこか列がすべて0なら行列式の値は0
o b, c,
a, O C₁
la, la, 0
0 μ z Cz
az
0
C21
a2b20
= 0
0 3 C3
a30 C3
a3b30
○どこか2列が一致するとき行列式は0
a, a, c,
az
a2 C21=0
a3
03 C3
以上のことが行列式の
性質より導かれる。
P S
0gt
T
VAYAYAY

ページ4:

A =
余因子展開
all a 12
1
ain
012
n次正方行列に対する行列式を
n
ani
II. ann
an a12
"
||A|=
ani
"
ann
=
~
aigaig
と定義する
ここでarigはAから第1行と第g列をとり除いて
得られる (n-1)×(n-1) 行列式を(-1)ない!倍したもの
aig
Ã₁₁ÿ = (-1) 3+1
Q2.1
11
A₂, j-1, A2, ÿ+1
a2.n
On..
1
an,g-ian,jto
ann
→より一般的にnxn行列から第行と第化列を
とり除いて得られる(n-1)×(n-1)行列式を(-1gtk倍
したものを行列Aのしy.k)余因子という.ajれと表す
1行1列
2行1列
3行1列
(ex)
a11 a 12 a 13.
第1列でa2a22a23=an (-1)
a2z a231
a12 13
1+11
|+ A₁₂₁ (-1)²+1)
371
展開
a32 33
a32a33
(031 032 0.33
auの余因子
Q21の余因子
E
除く
●除く
a12013
解くと定義式と
022 023
一致!
032033
→除く
a32a33
+031 (-1)
012 3
922 A25
a31の余因子
Q12 Q13
a22a23
除く
除く

ページ5:

all a 12 a 13
2+1
a12a13
2+2011 (13
all a 12
第2行でQ21a22a23=
021(-1)
+a22(-1)
t
・9.23(-1)2+3)
a22a23
1031 032
展開
031033
a31a32 a33
→一致する
(ex) (1)
〇をふくむと楽
-1 -1 /
✓ (-1)
2
2
2
1+3-1
+ 0+2(-1) 2 I
=(-2-1)+2(-1+2)
=
-3+2=
-
(2)
47
2 5
2
58
8
1(-1)
69
3
6
9
+2(-
347
+3(-134/1
4
58
69
(45-48)+2(-1)(36-42) + 3(32-35)
-3+12-9:0
(3)
2
02
1-12
3
10 -12
-42 3 1.
2 0.
0が多い
-431 +0+2(-1)5
2 / -1
20
2
-1
2
=-1-3-8-2-12+4-1)-2(-2+2+0+4+0++)
=22-16=6
#

ページ6:

逆行列とその定義
・単位行列——
E
00
対角成分は1(他は0)
・性質
(ex)
可換
AE=EA=A単位行列Eは掛算の1の役割
=
2
(1 1 ) ( 1 2 ) - ( 110, 210) - ( 34 )
—逆行列
34
0+3, 0+4
定義
正方行列Aに対してAX=XA=Eとなる
正方行列メが存在するとき、Aは正則であるといい、
XAの逆行列と呼び、一般には、Aという記号で表す
インバースと読む
AA= AA=E
n次正方行列Aが正則であるとき、その逆行列Aは
A¨=
~
余因子行列
IAIA と表せる
↓
Aの行列式

ページ7:

余因子行列の定義
~
a21
~
ain t
a 22
~
I ain
"
転置(対角線で折返す)
~
01222
ani
anz
2
~
チルダ
ani anz
amn/
~
~
~
ain azn...
ann
Q1,812,
Qig = (-1)
(ex)
111
余因子と呼ばれるもの
ity
|Migl
小行列
all
012
013
除く
~
A =
a21
a22 023
011
(-1) ² | MI |
31
032
a33
小行列
除く
この余因子aigを各成分として転置をとったものがA
☆n次正方行列Aが正則月rank(A)=n
#AI #0
A-=
JAI
⇔逆行列が存在
A==
ad-c
(
α-41
-ca
A
JAIA
IOになったら存在しない!
(ex)
A:(ca)
Ja to dx (-1) = d
(2)
1Alab-cd
→転置
A. (6+ (74)
-ba
a
Cx(-13=-C
()
2×2行列のA
3×3行列では
どうやる?

ページ8:

・逆行列・掃き出し法
AXE
nxnの正方行列とする。
逆行列を求めたい・・・(X=A)
このときベクトルメ=(x1, D2, x3
xn)と表示する
このとき xin次元列ベクトルである。
x=1a2b2c2l
a3 h3 C3.
+ X = ( DC, DC2 DC3 )
X1 X2 DC3
同じくE=(eez
""
en)とベクトル表示する
ei
であり
e. (f) e. (f) - - (!) Th
100
010
001
e2
en
(e, e, e³)
E
=
a
b, C₁
Aa, Ab AC
AQ2 Al2 AC2
as 23 C3.
X₁ Kz Xz
Alaz bag Cz
(Ale:)
Aaz Al3 AC3
AxAxz AX3
If
11
11
e₁
P2
ex
掃き出し
つまり全体で
E(e, P2 P3)になってほしい
つまり
Axili (1·1.2 n)
が成り立ち、水が得られればよい。
(にんなので本の連立方程式に相当!
→(Exc)を得くことでxiを得る?
(ALE) → (EIX)を解けばよい。
X=Aより
(ALE) → (ELA
→(ETA)

ページ9:

(ex)
2
A =
〃
の
逆行列
20
求める
目標 (AIE) (EA
21
1
100
010
"
。。 1
010
←
011-20
1023
02
T
1×(-2)
A+
-1
0
= -3. 4-1
→
2
-2
1
#
ここを1にすると求めやすい
/ /
01 0
70-1-1
1023
1-20 × (-1)
1021
1
0
10×(-2)×2
21
10
20
l
01
0 0
001
1-10
2
-1
0
-21
151
100
0 / 0
1-1
0
-34-1
E
I
2
-21
A
1