Physics
มัธยมปลาย
เคลียร์แล้ว
この問題の（4）のことで緑線で囲った部分の言っていることがよく分からないので教えてほしいです。
70. <ピストンで封じられた気体〉思考
図1のように,摩擦なしに動くピストンを備
えた容器が鉛直に立っており,その中に単原子
分子の理想気体が閉じこめられている。容器は
断面積Sの部分と断面積 2S の部分からなって
いる。ピストンの質量は無視できるが,その上
に一様な密度の液体がたまっており,つりあい
が保たれている。 気体はヒーターを用いて加熱
することができ,気体と容器壁およびピストン
との間の熱の移動は無視できる。
真空
真空
真空
2S
S
2
12
液体
液体
h
2
液体 ピストン
気体
h+x 気体
h
気体
2
ヒーター
図 1
図2
図3
また,気体の重さ, ヒーターの体積, 液体と容器壁との摩擦や液体の蒸発は無視でき,液体
より上の部分は圧力0の真空とする。 重力加速度の大きさをgとする。 次の問いに答えよ。
〔A〕 まず,気体、液体ともに断面積Sの部分にあるときを考える。 このときの液体部分の
高さは今である。
2
h
(1)初め,気体部分の高さは12,圧力はP。であった。液体の密度を求めよ。
(2) 気体を加熱して,気体部分の高さを1からんまでゆっくりと増加させた(図2)。この
間に気体がした仕事を求めよ。
(3)この間に気体が吸収した熱量を求めよ。
〔B〕 気体部分の高さがんのとき, 液体の表面は断面積 2Sの部分との境界にあった(図2)。
このときの気体の温度は T であった。 さらに, ゆっくりと気体を加熱して, 気体部分の
高さがん+x となった場合について考える (図3)。
1 x>0では,液体部分の高さが小さくなることにより, 気体の圧力が減少した。 気体の
圧力Pを, xを含んだ式で表せ。
(2)x>0では,加熱しているにもかかわらず,気体の温度はTより下がった。 気体の温
度Tを x を含んだ式で表せ。
気体部分の高さがんからん+xに変化する間に, 気体がした仕事 W を求めよ。
④ 気体部分の高さがある高さん+X に達すると, ピストンをさらに上昇させるために必
V要な熱量が0になり, xがXをこえるとピストンは一気に浮上してしまった。Xを求
めよ。
[11 東京大〕
ヒント 70 〈ピストンで封じられた気体〉
[A](1) ピストンにはたらく力のつりあいを考える。
(3) 「気体が吸収した熱量」 熱力学第一法則
〔B〕(2)物質量や気体定数が与えられていないので,ボイル・シャルルの法則を用いる。
(3)「気体がした仕事」 変化の過程で圧力が変化するので,-V図の面積から求める
(4) 「ピストンをさらに上昇させるために必要な熱量が0』 → x=Xで熱量が極大
〔A〕(1) 液体の密度をとする。ピストンにはたらく力のつりあいの式は,図
2Po
aより P&S=o(S/1/29 よってp=2
gh
g
(2) 気体は定圧 Po で S sh-1/2) 膨張するから,「Wu=pdV」より気体がし
た仕事 WoはWo=Po・S/2=1/2Posh
(3)単原子分子理想気体の内部エネルギーの変化の式「AU=2323nRAT」を,
状態方程式「pV=nRT」を用いて書き直すと, pが一定のとき
「AU= pAV」となる※A。
したがって, 内部エネルギーの変化⊿U。 は
ん|2
2
真空
液体 PoS
40
4U=1232 Pos/172=2PoSh
3
4
熱力学第一法則「Q=4U+Wした」より,気体が吸収した熱量Q は
Qo=4U+W=2P.Sh+1/2Posh=1.4 Pos
-PoSh B
〔B〕図bより,気体部分の高さがん+x のとき, 断面積S
真空
の部分の液体部分の高さは1-xとなり、断面積2Sの
2
1242
2S
-X 液体 S
部分では 1
x
となる。
h
(1) 液体部分の高さは 12-x+1/12/27/1/23 - 12/20 である。
X
h
x
=
P
htx 気体
ピストンにはたらく力のつりあいの式は
es (~
よってP=1/23ph-x)g=2gh
h
x
PS=ps
2
図 b
12Po (h-x)g
気体 (8.12) 日
図 a
← A 変化前後の理想気体
の状態方程式が
piVi=nRT
p2V2=nRT2
であるとすると
nRAT=nR(T2-Ti)
=p2V2-piVi
P2=p=p の場合は
nRAT=pAV
←B別解 気体の物質量を
n, 気体定数をRとする。 単
原子分子理想気体の定圧モル
比熱 = 1/2より
Qo=nC,AT=RAT
--SP.Sh
=
ゆえに P = (1-1) Po
h
定」を用いると
PoSh
Ti
よってT=
PS(h+x) T₁=
PoSh
(2) 気体部分の高さがんのときとん+xのときとで, ボイル・シャルルの法
「
PS(h+x)
T
Po(1-x)S(h+x)
T1
PoSh
ゆえに = (14) #C
TC
圧力
(3) 〔B〕 (1)の結果から, 圧力は図cのように直
線的に変化する。 気体のした仕事は p-V
図の面積で表されるから
Po
P
Po+P
W=
6+P. Sx = Po (2-x) Sx
2
=P.S(1-x
2h
h
(4) 気体の内部エネルギーの変化 4U は
3
C 気体の状態方程式を
用いると
PoSh=nRT
PS(h+x)=nRT
これらより
T=
PS(h+x) T
PoSh
0
Sh S(h+x) 体積
以下,解答と同じ。
図c
AU-12/2(PS(h+x)-P,Sh) *2/2P.Sh(1-4)(1+4)-1}
=
3
=
=P.Sh(-)-- PSx³
2
h
熱力学第一法則 「Q=4U+Wした」 より, 熱量 Qは
==
3PoSx² + Pos(1-1) x = PoS (-3x²+hx-12x²)
Q=4U+W= 2h
-2PS (-x+hx)
=
h
2h
h
題意より、x=X のとき, Qが極大になればよい※D。
よってQ=2PS{(x-1)+7/06
h
であるから X=1/2hが求める値である。
※D 「ピストンをさらに
上昇させるために必要な熱量
が0」とは,熱量の増加が0
であること,すなわち, Qが
極大になればよいことになる。
คำตอบ
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極大値を超えた時、Qの傾きが負となれば、つまり、dQ<0となれば、
ΔQ<0
つまり、放熱になるということです。