Question

りり

(1)の回答に書いてあるa<-2の時の表のaが関係する部分ってどうやって傾きがプラスかマイナスかがわかるんですか？
また、解答の2の場合は特に、aの正負がわかりませんが、どうやって最小値がわかるんですか

● 12 絶対値つき関数/折れ線 (文字定数入り)
f(x)=x+2|+|-3|+|x-a| とする. 次の問いに答えよ.
(1) αを定数とするとき、関数y=f(x) の最小値をα を用いて表せ。
(2) (1) での最小値が6となるようなαの値を求めよ.
(中部大・ 応用生物)
折れ線の増減は傾きで 前問で述べたように, f(x) の増減は,各範囲の傾きを追いかけることで
とらえることができる。
前間で述べたように, y=f(x)のグラフは1本の折れ
折れまがる点のx座標の大小で場合分け
線であり,折れまがる点の座標は, x=-2, 3, αである. 前問の(1)から分かるように、折れまがる
点のいずれかで最小となる. よって,αと2,3との大小で場合分けが必要である.
■解答量
(1) αと2,3との大小で場合分けをする.
1° a<-2 のとき,a<x<-2の範囲では、3つの
絶対値の中身の1つが正で, 2つが負であるから,
絶対値記号をはずして得られる1次の係数(傾き)
は-1である. 同様に各範囲について, 傾きを求
めると右表のようになるから, x=-2で最小値
をとる. よって,
|-3|=-(x-3)
|x-a|=r-a
I
a -2 3
a<x<2では,
傾き -3 -1 1
3
|x+2|=-(x+2)
y
-2 (a) 3
となる.
m=f(-2)=0-(-2-3)+(-2-a)=3-a
2°-2≦a≦3のとき, 同様に=αで最小で,
m=f(a)=(a+2)-(α-3)+0=5
y
-1-120-2
3° 3 <αのとき, -2 <3 <αであるから, 同様にx=3で最小で,
m=f(3)=(3+2)+0-(3-4)=α+2
x
-2
a
(2) (1)の1か3°のときである. よって,
y
)×
2
「α <-2 かつ3-46」 または 「3<a かつα+2=6」
α-3 または α=4
注 a=-2,α=3のときは,下のようになる.
a=2のとき
a=3のとき
f(x) =2x+2|+|r-3|
f(x)=|x+2/+2|z-3|
I
-23
I
-2 3
傾き -3 1
3
傾き -3 -1 3
y
y
V
12 演習題(解答はp.27 )
a,b,cは定数でα<b<c を満たすものとする. 関数f(x) を
f(x)=x-a|+|r-b|+|x-c|で定める。
(1)ェがすべての実数を動くとき, 4x+3f(x) の最小値を求めよ.
1+0-2
←α=-2のときのグラフは下図.
y+
10-
-5
0
3
(2)ェがすべての実数を動くときのf(x)の最小値が18で,f(c)=32のときb,cを
で表せさらにf(-12)=25のときを求めよ.
(上智大経)
(1) 安直にェ=bで最
小としないように.
(2) αを出すところも
グラフを使いたい。
21

Answer 1

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きらうる

1つ目の質問
a＜-2のとき、絶対値の正負は、xの小さい順にx＝a,-2,3の順です。

x＜aのとき、3つの絶対値の中身はすべて負になるので、
f(x)＝-(x+2)-(x-3)-(x-a)
　＝-3x+1+a　
だから、傾き-3

a≦x＜-2のとき、3つの絶対値でx-aが正、他は負になるので、
f(X)＝-(x+2)-(x-3)+(x-a)
　＝-x+1+a
だから、傾き-1

このように、xの範囲によって絶対値の中身も変わってきますので、それぞれの絶対値の中身が正か負かを考え、そのときの傾きを求めたのが右側の表になっているというわけです。

2つ目の質問
2゜の話で良いですかね。
-2≦a≦3の場合、というか、どのaの範囲も、aは傾きに依存しませんよね。だから、1゜で考えた右側の表を少し変えて、
xの値　　-2…a…3
傾き　 -3…-1…1…3
このようにすると、最小値は
x=aで取ることになります。