Question

奏音

数Ⅱ　二項定理
（１）が解説を読んでもわかりません。分かりやすく説明していただきたいです、よろしくお願いします。

基本 例題 5 二項係数と等式の証明
00000
(1)knCk=nn-1Ck-1 (n≧2, k=1, 2, ......, n) が成り立つことを証明せよ。
(2)(1+x)" の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。
(ア) nCo+nCi+nCz+......+nCr+......+nCn=2"
(イ) Co-C1+"C2+(-1)",C,+......+(-1)"„C„=0
(ウ) nCo-2nC+22,C2+(-2)'nC,+......+(-2)"nCn=(-1)"
1章
1
p.11 基本事項 4
n!
r!(n―r)!
を利用して, knCk, nn-1Ck-1 をそれぞれ変形する。
指針▷ (1) Cr=
(2) (ア)二項定理 (p.11 基本事項4) において, a=1, 6=x とおくと
(1+x)"=nCo+nCix+nC2x+••••••••••••nCnx"
①
等式① と, 与式の左辺を比べることにより, ①の両辺でx=1 とおけばよいことに気
づく。 同様にして, (イ), (ウ)ではxに何を代入するかを考える。
解答
n!
(n-1)!
(1) knCk=k•
(n-1)!
nn-1Ck-1=n.
=n°
k!(n-k)! (k-1)! (n-k)!
(n!=n(n-1)!
(n-1)!
=n°
(k-1)!{(n-1)-(k-1)}! (k-1)!(n-k)!
したがって knCk=nn-1Ck-1
3次式の展開と因数分解、二項定理