Question

りり

(2)で「-1/√3<m<1/√3」からXの範囲を求めるとき、
解答のようにではなくて、三枚目のように考えてしまいました。
これでうまく求められないから、
解答のようにYの範囲を求めて図を描くことで、Xの範囲を求めよう！
っていう思考回路ですか？

偶数の関係を使った
④よりm=1/2で⑤に代入しY=1/2x2-2x
③ ④ により,X < 0 または 8 < X
2
X,Yをx, y に書き換え, 求めるMの軌跡は
よって, X=2m……… ④ であり,Mは①上にあるから,Y=mX-4m...⑤
X
D=m²-4m>0
..
<0 または 4<m
(3)P,Qの座標をα,βとし,M(X, Y) とおくと,x=α+B
αβは②の2解であるから,解と係数の関係により,a+β=4m
2
③ これから軌跡の限界が出てく
P,Qの座標をm で表す必要
このようなときは具体
急がず、とりあえず文字でお
⑤ではなく.
34
y=14x²-2x
Y=
16
y= x²-2x (x<08<x)
であり,右図太線である (○を除く)
8
I
1-1/2 (+)
(a+B)-2a8
8
=2m²-4m
と ④ からYをXで表しても
たことはないが(本間の場
⑤ (直線上にあること)に着
るのがうまい。
補助に考える。 円が
を通るときは別に調
く。
12 演習題 ( 解答は p.104)
円(x-2)2+y2=1と直線y=mzが異なる2点P, Qで交っているとき,
(1)の値の範囲を求めよ.
(2) 線分 PQ の中点Mが描く軌跡を求め, それを図示せよ (軌跡に端点がある場合は
その座標を明示せよ).
(群馬大理工,情/改題)
Mが直線上にある
をうまく使う、なお
形的に解くことも
る.

=5
(2)円の中心は (0,a), 半径は4である。
aを大きくしていくと、
a=-4で初めて共有点を持
つ. 右図により
a <-4のとき0個、
で、
a=-4のとき1個.
単位
4 <a<4のとき2個.
-4<a<4
4
は③の2解であるから, 解と係数の関係により,
(2) M(X, Y) とし, P, Qの座標をα, β とおく
MはPQの中点であるから,X=である。0.1
以上により、
丸を除く)であ
ある。
a+B
2
X=-
a+B=
1+ m²
1+m2
注(2)
a=-4
4
a<-4
Mは②上にあるから,Y=mX
対称性により
Y
⑤によりX = 0 であるから,m=
X
(13
これを⑤ ④に代入して,
I+y
1 Y
1
う条件をX.
X=2
1+
0.
.....8
X
(本シリ
Y
次に,a=4のとき, '=yを(y-4)2=16に代入し
*y+(y-4)2=16/
y2-7y=0
:.y=0,7
a=4 のとき (下図により), 3個
よって,aを大きくしていくと2点で接するときがあ
る.それは,r=yを2+(y-a)=16に代入した
[D=(2a-1)2-4 (α2-16)=0② かつ
x{1+(1/4)}=2
⑦ のとき,X
x²-2x+4:0
: X2+y2=2X: (X-1)2+Y2=1 ...... ⑨
⑤によりX> 0 であるから, ⑧のとき
3-2
点(X.
x+y=X
をすべて満
① ②に.
の2解であ
Dとすると
③ を ①
(x+y
よって,
y+(y-a)2=16
I
すなわち, y2-(2a-1)y+α²-16=0
>0である重解を持つときである. その条件は,①
の判別式をDとして
X<Y<
√3
√3
+3
(重解)=
2a-1
1
->0
2
⑨ に Y=
-X を代入する
√3
65
√√3
②を解くとα=-
であり,
4
と, 1/32 x 2-2X = 0 により右
③を満たす. 右図により.
a>65
3
⑤により,
図の白丸の座標はx=
O
1
13
65
4<a<-
のとき4個.
FO
65
a=65
2
であり, ④
よって, Mの軌跡は, 円
4<a<65
1/2
√√√3
X2-2
3
a= のとき2個.
(x-1)2+y'=1のx>
y=-
a=4
2
√3
65
a>
のとき0個.
0
x
の部分であり,右図太線部 (白丸を除く)。
したがって
4
上
注 前文について (1)の図からも, a=4のとき
アのようになっていることが分かる.
よって,
別解 (1) (Cの中心との距離) < (Cの半径)
|2m|
m²+1
放物線 y=
-<1. 分母を払い2乗すると,
の2
りこれを
1
<m<
√3
線部 (
注
0個
H
=x2
12 (1) 「円の中心と直線の距離」 く 「円の半径」
としてもよいが, (2) のことを考えて, 円と直線の方程
式を連立させて解くことにする。
(2) 中点は直線上にあることに着目して, mを消去,
なお,円の中心とMを結ぶと図形的に解決 (別解).
C: (x-2)2+y2=1 ① 1:y=mx....... ②
とする.
(1) ②①に代入して, (x-2)2+(mz)2=1
∴ (1+m²)x2-4x+3= 0
Cと1が異なる2点で交わる条件は, ③が相異なる2
つの実数解を持つことで, ③の判別式をDとすると,
D
-=22-3(1+m²)>0..
4
1
<m<-
√√3
√3
4m²<m²+1 ∴.3m² <1
(2) Cの中心をAとおくと,
AM⊥PQ により
∠OMA=90°
したがって, MOA を直
径する円周上で,円Cの内部
を動く (右図太線部. 白丸を
除く)。 図の OR の傾きが
P
M
r=c
とおく
よって、
C
14 C
目し, そ
(1) により
1
であるから ROA=30°であり
(2) 入
√3
Pの座標
いること
1= Q(X,
√3
理する方
2' 2
△ROA は R=90°の30° 定規の形である.
よって, RO=OAcos30°=√3であり,
R(√3 cos 30°√3 sin 30°)
-4(3m²1) 20
3m²-150
(i+1)(im-1)<0

+ > > - f
V
1 m² = 1/1 = 12)
¦
<<1
②m=姜を使う
あれ?
⇔
<
あれ?