Question

ひきわり

極方程式についてです。
点Pが右側にあるときにrがマイナスになっています。これは2枚目の写真のような考え方をしているのかと思いますが、そのときの図と赤枠の図が一致していないように思い、納得できません。
どなたかご説明お願いします🤲

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基本 例題 84 2次曲線の極方程式
を l とする。点Pからlに下ろした垂線をPH とするとき,e=
な点Pの軌跡の極方程式を求めよ。 ただし, 極を0とする。
OP
a,eを正の定数,点A の極座標を (α, 0) とし, Aを通り始線 OX に垂直な直線
であるよう
PH
基本 81,83
指針▷点Pの極座標を (10) とする。 点Pが直線lの右側にある場合と左側にある場合に分け
て図をかき, 長さ PH を 1, 0, αで表す。 そして, OP=ePH を利用してr= 0 の式)を
導くが,<0を考慮すると各場合の結果の式をまとめられる。
vl
P(r,0)
H
A(a, 0)
解答
ℓ
点Pの極座標を (r, e) とする。
点Pが直線lの左側にあるとき
PH=a-rcose (*)
点Pが直線lの右側にあるとき
P(r, 0)
L
H
OP=ePH から
PH=rcos0-a
よって r(1±ecos0)=±ea (複号同順)
1±ecos0≠0 であるから
r=±e(a-rcos 0 )
A(a, 0) X
ea
r=
①または
tea≠ 0 から
r (1±ecos0)≠0
π
1+ecos 0
ea
-r=
1-ecos 0
注意14/02/23のとき、
図は次のようになるが,(*)
は成り立つ。
ea
e
②から
-r=
②'
1+ecos (+)
P(r, 0)
H
点(r, 0) と点(-r, 0+π) は同じ点を表すから, ①と②は
同値である。
よって, 点Pの軌跡の極方程式は r=
ea
1+ecos 0
-a-
X
-rcose
検討 2次曲線と離心率
1. 上の例題の点Pの軌跡は, p.122 基本事項から、焦点 0, 準線ℓ,離心率eの2次曲線を表し,
0 <e<1のとき楕円, e=1のとき放物線, 1 <eのとき双曲線
である。このように, 曲線の種類に関係なく1つの方程式で表されることが利点である。
2.例題で,点A の極座標を (a, π) [準線 l が焦点の左側] とすると,上と同様にして、点P

解説
ある曲線が極座標 (r, 0) に関する方程式=f(0) や F(r, 0) = 0
で表されるとき、この方程式を曲線の 極方程式という。
なお, p.141 の注意 でも述べたように, 極方程式では<0の場
合も扱う。すなわち, r>0のときの点(-r, 0) は点(r, 0+π) と
同じものと考える。
sin=
P(r, 0)
(−r, 0+л)
0+T
0
TSIA
① 中心が極 0, 半径が αの円周上の点Pの極座標を (r, 0) とす
r = a, 0 は任意の値
ると
(r, 0+л)
P'(-1, 0)
X

Answer 1

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緑茶

2枚目の解説は極方程式の一般論を述べているだけなので、2枚目の図と1枚目の図はあまり関係ありません。
また、1枚目のrは距離を表していますし、Pの極座標を(r,θ)とおいているので、(赤枠の場合でも)マイナスではありません。(ややこしいですが、極座標自体はr≧0です。)
場合分けによって2通りの関係式が出てきますが、2枚目の解説によって2つは結局同じものを表しているというわけですね。

何か分からないことがあればまた教えて下さい。

ひきわり

まだ完全に理解できていないので質問させてください💦
このマーカーの-rは一体どこのことを表しているのでしょうか？
よろしくお願いします🙇

緑茶

質問の答えになっているかわかりませんが、(r,θ)と(-r,θ+π)は同じ点を表します。そのため赤枠で囲っていた図の点P(r,θ)はP(-r,θ+π)とも表せるわけです。②の式は赤枠の図の点Pが満たす関係式なので、しいて言うならマーカーの-rは点Pの座標の第一成分を表していることになります。注意すべきことは、この場合、P(-r,θ+π)として考えているということです。例えば、二つの方程式y=x と -y=-x は見た目は違うけれど、関係式を満たす点の集合は全く同じです。それと若干似ています。

ひきわり

なるほど🧐
一つ気になることがあって、点Pの座標の第一成分とは何でしょうか？
何度もすみません🙇

緑茶

P(r,θ)のrのつもりで書きました。

ひきわり

了解です🫡
いろいろとありがとうございました！