0≦x≦y≦1から、
点(x,y)が座標平面で
どんな範囲を動けるのかが図示できます
これは「図形と方程式」の「領域」の範囲の問題です
そのもとで、
zの最小値を求めるということは
y+2x²-4xの最小値を求めるということです
zがkという値をとる（z=k）ということを考えます
つまりy+2x²-4x = kとおきます
変形したy=-2x²+4x+kは、xy座標平面上で
点(x,y)が放物線を描く、ということを意味します
このとき、kは放物線のy切片です
いま、zがとりうる値の中で、最も小さいものを求めます
つまりkの最小値を求めます
まとめると、0≦x≦y≦1を満たす領域内を動く点(x,y)は、
放物線y=-2x²+4x+k上にもあります
つまり、領域と放物線が重なる（共有点をもつ）
というもとで、k（放物線のy切片）が最も小さくなるとき
を求めればよいことになります
自分で答案を進めてみてくださいね
