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y=-ax+2a…①
真数条件から、x>0、x+y>0
これに①を代入して、
x+(-ax+2a)>0 → x>2a/(a-1) から
0<x<2a/(a-1)…②
①を与式に代入して、
log(a)x+log(a)(x-ax+2a)
=log(a)(x²-ax²+2ax)…※
真数=x²-ax²+2ax(>0)
=(1-a)x²+2ax
平方完成して
=(1-a){x²+2a/(1-a)x}
=(1-a){x+a/(1-a)}²-a²/(1-a)
=-(a-1){x-a/(a-1)}²+a²/(a-1)
a-1>0より、グラフは上に凸のグラフになる。また、②の範囲で最大になるのは、軸がx=a/(a-1)なので、②の範囲内にあることから、ちょうど頂点がそれになる。
よって、x=a/(a-1)で最大を取ることになるから、最大値は
※=log(a){a²/(a-1)}
=log(a)a²-log(a)(a-1)
=2-log(a)(a-1)
回答ありがとうございます!理解できました!