Question

ショパン

微分方程式の、線形・非線形の見分け方がよくわかりません。未知関数及びその導関数について一次の項しか含まないものが線形と書いてありますが、具体例があまり教科書に載っておらず、きちんと理解できませんでした。わかる方、詳しく説明して欲しいです。できたら具体例もつけて欲しいです。

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

檸檬

線形微分方程式と非線形微分方程式の見分け方は、未知関数やその導関数について一次の項しか含まないかどうかを確認することです。

線形微分方程式は、未知関数やその導関数が一次の項しか含まない形をしています。一般的な線形微分方程式の形は以下のように表すことができます。

\[a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x)\]

ここで、\(y\)は未知関数、\(y', y'', \ldots, y^{(n)}\)はそれぞれ1階、2階、\(\ldots\)、\(n\)階の導関数、\(a_i(x)\)は関数、\(g(x)\)は既知の関数です。

具体例として、以下の微分方程式を考えてみましょう。

\[y'' + 2xy' + x^2y = 0\]

この微分方程式は未知関数\(y\)やその導関数について一次の項しか含んでおらず、線形微分方程式であると言えます。

一方、非線形微分方程式は未知関数やその導関数について一次の項以外の項が含まれる形をしています。具体例としては、以下の微分方程式を考えてみましょう。

\[y' = y^2\]

この微分方程式は未知関数\(y\)やその導関数に二次の項が含まれており、非線形微分方程式であると言えます。

線形微分方程式と非線形微分方程式を見分けるためには、未知関数やその導関数について一次の項しか含まれているかどうかを確認することが重要です。