Question

mi

この問題が今課題として出ているのですが、永遠に分かりません💦
答えはまだ配布されていないので是非教えていただけると嬉しいです
雑な質問ですみません

=
410 a₁ = 5, an+1 =
an
+
2
8
(n=1,2,3, ...) で定められる数列{a}があ
an
る。すべての自然数nに対して0<an-4≦が成り立つことを示せ。
415
(大阪府立大改)

数列 数学的帰納法

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

きらうる

①0＜a[n]-4の証明
a[n]＞4であることを証明する。
a1＝5、a2＝5/2+8/5=41/10…
となるので、a[n]＞0であるから、相加相乗平均を使って
a[n]/2+8/a[n]≧2√(a[n]/2)×(8/a[n])
　　　　　　　　＝4
よって、a[n]/2+8/a[n]≧4
等号成立はa[n]/2＝8/a[n]　→　a[n]＝4
となり、成立しないので、
a[n]/2+8/a[n]＞4
→　a[n+1]＞4　n+1→nとしても差し支えないので、
a[n]＞4だから、a[n]-4＞0

②a[n]-4≦1/2ⁿ⁻¹の証明
①から、a[n]＞4なので、
1/a[n]＜1/4
→　8/a[n]＜2　から、
a[n]/2+8/a[n]＜a[n]/2+2
と書き替えることができるので、
a[n+1] ＝a[n]/2+8/a[n]＜a[n]/2+2
→　a[n+1]< a[n]/2 +2
→　a[n+1]-4<(1/2)(a[n]-4)
→　　　　　＜(1/2)²(a[n-1]-4)
→　　　　　…
→　　　　　＜(1/2)ⁿ⁻¹(a[1] -4
　　　　　　= (1/2)ⁿ⁻¹
よって、a[n]-4＜1/2ⁿ⁻¹
n＝1のとき、
a[1]＝5で等号が成立するので、
a[n]-4≦1/2ⁿ⁻¹

よって、0＜a[n]-4≦1/2ⁿ⁻¹