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この問題の条件（曲線が下に凸の２次関数と直線）においては、接線を通る時が優先されます。
証明は後述します。
・通常は、最大値と最小値を求める（接点と端点を求める）問題ですが、グラフの特徴や無駄な計算（端点の計算）は省略できることに気づかせるために、この問題は最小値だけを求めさせていると思われます。
・このことに気づけば、解答処理短縮になりますし、計算ミスで接点の方が最小にしてしまうことも防げます。
・ただし、2次関数でも上に凸であったり、３次関数(4次関数など)と直線、曲線と曲線など、色々なケースを考えると、接線と端点の両方を調べておく（注意しておく）と、間違いないです。
■証明（計算で示すと）
y=x²において、x+yの最小を求めるには、x+y=kとおいて、kの動く範囲を求めればよい。
y=-x+k、y=x²の交点（または接点）が存在するには、-x+k＝x²を満たす実数xが存在するようにk（範囲）定めることになる。
x²+x－k=0…判別式D=1+4k≧0⇒k≧－1/4であることが分かり、kの最小値は－1/4、このときxは重解であり、接点を意味している。
このこと（xの範囲に接点(重解)がある=kの最小）から、接線（接点）が優先されています。
計算で示すと以上のようになります（説明いまいちですが。）
■グラフイメージで説明
３次関数（４次関数など）では、うまくいかないことは想像できると思いますが、
下に凸の2次関数と直線の場合は、接線が最小になります（うまくいきます）。
これは証明・説明になっていません🙇（２次関数は計算で示せます。。。）
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問題慣れてしている人は、グラフと計算をイメージできると思いますが、理解した上で、無理せずに、接点と端点を求めておくのが無難だと思います。
■結論（私の意見）：意地悪な問題もあるので、「端点は大丈夫かな？」と思って、紙の隅に計算して確かめておくのがよいです。
余計にモヤモヤになってしまったら申し訳ありません。
違います。
「2次関数で下に凸、直線との接線だから」です。
3次、4次関数では、候補ではありますが、接線が最小になるかどうかわりません。
3次関数や4次関数の時も接点があれば接点が最小ということですか？