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(2)直線ax+by+c=0と点(x₁,y₁)の距離dを求める式は
d=|ax₁+by₁+c|/√(a²+b²) ,a²+b²≠0
点:円の中心(0,0)
距離:円の半径√2
これらを用いると、
√2=|c|/√(a²+b²) → c=±√{2(a²+b²)}
ax+by±√{2(a²+b²)}=0 (a²+b²≠0)
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(3)直線ax+by+c=0とx²+y²=2が接する(重解をもつ)ので
判別式=0を利用する。
直線は、a≠0またはb≠0なので、
b≠0のとき(先にb≠0の場合を計算してみる)、
y=-a/b・x-c/b = a'x+c'に置き換え、円の式に代入する
x²+(-a'x-c')²=2、(1+a'²)x²-2a'c'x+c'²-2=0
D(判別式)/4=a'c'²-(1+a'²)(c'²-2)=0
2+2a'²-c'²=0→ c'=±√(2+a'²)
y=-a/b・x±√(2+a²/b²) → ax+by±√{2(a²+b²)}
a≠0のとき、
b≠0と同様に計算すると、
x=-b/a・y±√(2+b²/a²) → ax+by±√{2(a²+b²)}
以上から、 ax+by±√{2(a²+b²)}=0 (a²+b²≠0)
〔参考〕「b≠0」と「b=0」にしなかった理由
b=0のときを計算すると、
ax=c…円の式に代入する
(c/a)²+y²=2、y=±√(2-(c/a)²)
yが重解(1つの解)になるのは、(c/a)²=2、c/a=±√2のとき
→ x=±√2 …これで正しいのですが、答えを書くときに
「b≠0」「b=0」で、分けて書く必要があるので止めました。
・b≠0のとき、ax+by±√{2(a²+b²)} (a≠0)
・b=0のとき、x=±√2
(3,1)を通るなら、a≠0であるから(図を書くとすぐにわかる)、
最初にy=ax+cとしておけばよかったのですが、、、
ax+by±√{2(a²+b²)}を求めてしまったので、
この式にb=1を入れて、(3,1)を通る直線を求めます、
((3)のb≠0で出てきたy=a'x+c'と同じ)
1=3a±√{2(a²+1)}
⇒ 9a²-6a+1-2a²-2=0
⇒ 7a²-6a-1=0
⇒ (7a+1)(a-1)=0 … a=-1/7、a=1
y=-1/7x±10/7、y=x±2 … (3,1)を通るので、
答えは、y=-1/7x+10/7、y=x-2 … あってる?
寄り道して、解説してしまったので、分かりにくい場合や、
方法のよさが分からない場合など、コメントください。
最初から、(3,1)を通る直線で計算します
失礼しました。
(3,1)を通るのを忘れてました。。。
少しお待ちください。