Question

みみ

極限の問題で（1）なのですが計算が合わないです。どこが間違っているのか指摘して頂きたいです。

以下で{az},{x} を含む式はn = 1, 2, ・・・ で成り立つものと
する.
平
(1) a1=2,an+1
=
an+2
an+1
のとき, an >1を示し
-
|an+1 - √2|≦
2
を示せ.
(2) Xn+1= 1½ xn + 2x
a
9
示し
√2-11an - √21
[徳島大〕
x1 > √a (a>0) のとき,xn> √a を
有という意
(0)
を示せ.
-
-
〔名古屋大〕
1定まるわせて
この
〔三重大〕
(3)041 ≦1/21an+1=24m(1-an)のとき0<an≦1/23
an ≦an+1 を示し lim an =
n→∞
=1/2を
1
を示せ.
《方針》 次の原則 (例外はあります 24 )
漸化式で定義された数列の一般項についての証明
帰納法
に従います。 以下ではいちいち明記しませんが、帰納法を何度も用いていま
す. また数学の文章において 「帰納法」 はすべて数学的帰納法のことです.
《 解答》 (1) >1であり, 漸化式から
an+1-1=
1
an+1
> 0 ...an+1 >1
よってan 1 (n=1, 2,...) であり、 これと漸化式から
lan+1-√√2
=
VI
(1-√2) (an-√2) √2-11an - √21
√2-1
2
an+1
-11a-v21
=
an-√21
an+1
駅

解
an>1が成立するならanti>1
an+2
an+1
-
antl
antl
も成立する
>0
antl
よってant>
し
1 an+ - √21=
ant 2
antl
√29n+2,52
antl
am (1-√2+2(1-1)
antl
an+2) (1-2
antl

Answer 1

あ

4行目の変換後の分子が2√2ではなく√2ですね。

a(n+1)-√2=(a(n)+2/a(n)+1)-√2={(a(n)+2)/(a(n)+1)｝-{(√2a(n)+√2)/(a(n)+1)｝