Question

みみ

私はt=0とそう出ない場合をわけずに考えてしまったのですがなぜ分けなければいけないのか教えて頂きたいです。

X
|xy 平面において, 連立不等式 (x-1)'+y'≦1,0≦x≦1, y≧0の表す領域をAとする。これを
30 座標空間内でz軸の方向に1だけ平行移動するときにAが通過してできる立体をBとする。 B
をx軸の周りに,y軸からz軸の方向に90°回転させたときに通過してできる立体をCとする。
(1) 立体Cの平面 x=t (0≦t≦1) による切断面の面積S(t) を求めよ。
(2) 立体の体積 V を求めよ。
201
[類 東北大 〕

数学381
切断面は、0<t≦1のとき長方形, t=0のとき線分となる。
HINT (1) 立体Bの平面x=t (0≦t≦1) による切断面を回転させたときの図形の面積を求める。
(1) 領域 A は図 [1] の斜線部分である。 ただし, 境界線を含む。
また」が通過してできる立体Bは、同[2]のようになる。
[1] YA
[2]
←まず、領域A. B
の形状を把握する。
1---
12x
√1--12
B
x 90°回転
0<t≦1のとき, 立体Cの平面 x=t による切断面は, 「立体B ←Pは、図 [2]中の赤く
を平面 x=tによって切断してできる長方形P」 をx軸の周り塗った長方形。
に,y軸方向から軸方向に90°回転させたときに通過してで (01
きる図形と同じである。
01.04
(x-1)+y=1 に x=t を代入する
と 69-8y2-1-(t-1)²
平面 x = 4
AS
90°回転
FDA
・P
8章
t
y0 とすると
y=√1-(t-1)^
-1
EX
←0 <t≦1のとき
-
よって、立体Cの平面 x=tによる
x
切断面は,右図の赤く塗った部分の
ようになる。
(t, 0, 0)
√1-(t-1)^2≦1
y
√1-(t-1) 2
章 [積分法の応用
長方形Pの対角線の長さを1とすると
1²={√1−(t−1)² }²+1²=2−(t−1)²
ゆえに、立体Cの平面 x=tによる断面積 S(t) は
←三平方の定理。
S(t)= | |πl²+2.11.
・1-(t-1)21
(半径の四分円)
よって
S(t)={2-(t-1)^}+√1-(t-1)2
+(長方形P) として面積
を計算。
t=0 のとき,切断面は原点と点 (001) を結ぶ線分を, x軸
の周りに,y軸方向から軸方向に90°回転させたときに通過
←長方形Pが線分に変
わる。
してできる扇形であるから
S(0)=114
421-140
半径1の四分円の面積。
BA
①において,S(0)=4であるから,①は t=0のときも成り立
つ。
したがって
S(t)=(2-(t-1))+√1-(t-1)。
B
(2)
v=S'S(t)dt=*S*{2−(t−1)*}dt+S'√1-(t−1)³ dt
←断面積を積分。
ここで
S (2-(1-1))=[21-1-12]-2-1-
3
15
3(18
10
SILO