Question

あ

150ではSnをSn+1と計算
144ではSnをSn-1と計算
させてるのはなぜですか？いつどっちにするとかあるんですか？

B 数列
150 S と an の関係式
(A)
数列{a}の初項から第n項までの和をSとするとき,
Sn=2an-n (n=1, 2, 3, ...) が成り立っている.
(1)
α1 を求めよ .
解答
Sn=2an-n
(1) ①でn=1 とすると,
(2)一般項 an を求めよ.X
(立教大)
29-5
2(0-1)-6-1)
20-2-1-1
Si=201-1
であり, S=a であるから,
zan-n-1
a₁=2a1-1
(2)条件式より、
.. a₁=1
Sn+1=2an+1-(n+1),
Sn=2an-n
であり、両式の差を考えると,
Sn+1-Sn=2an+1-2an-1
①のnを一斉に n + 1 に変える
Sn-Sn1 = α (n≧2) であるから,
Sn+1-Sn=an+1 である
an+1=2an+1-2a-1
an+1=2an+1
②を変形すると,
an+1+1=2(a+1)
これは基本形の漸化式である
36₁ = 42
b1=az
これより, 数列{an+1}は公比2の等比数列であり,初項は,
a₁+1=1+1=2
である. よって
an+1=2・2"-1=2"
an=2"-1
an-11=2am-1
2=2x-11
anti-=2(0,-ス)
解說講義
Anπ = 2 (ant!)
Goll ba
bace 22 bm
an と Sn が混ざっていては考えにくい.このような場合には, 144 で勉強した 「和と一般項
の関係」を用いて Sn を消去して,{a} についての関係式 (漸化式) を手に入れることを考え
よう. 解答のように,①のn をn+1にした式を準備してその差を考えれば, Sn+1-Sn=an+1
によって,すぐに{a}についての関係式を手に入れることができる.
文 系
数学の必勝ポイント
an と Sn の混ざった条件式
和と一般項の関係によってS" を追い出して, {az}についての関係式
を手に入れる (nを1つずらした式を用意して差を考えるとよい)

144 和と一般項の関係
数列{a} (n=1,2,3,...)の初項から第n項までの和S"が, △
Sn=-n+21n2+65mのとき,一般項 an を求めよ.
(大分大)
解答
Sn=-n+21n2+65m
...1
①でn=1にすると, S = -1+21+65=85となるが, S = なので,
a₁ =85
n≧2のとき、
an=Sn-Sn-1
SH-1 は①のnをn-1にすればよい
=(-n³+21n²+65n) - {−(n−1)³+21(n-1)²+65 (n-1)}
=(-n+21m² +65m)
-(-n+3m²-3n+1+21m²-42n+21+65m-65)
=-3m²+45m+43
となる.
②で n=1 とすると,
-3+45+43=85(=a1)
②は,n≧2 に対する αn の式なので,
n=1でも使えるかをチェックする
となるから、②はn=1でも成り立つ. 以上より,
an=-3n2+45n+43
解說講義
初項から第n項までの和をSとする. n≧2 のとき,
+a2+......+an-1+an=Sn
a1+a2+......+an-1 =Sn-1
が成り立つから ①-②より, (a1 から an-1 は打ち消されて)
an=Sn-Sn-1 (n≧2)
が得られる.和の条件が与えられていて,そこから一般項を求めるときにはこれを利用する.
α は別扱いであり, a1= S1 であることから求める.
n-1
143 の an=a1bk 本間で使ったan=S-S-1 は,どちらもn≧2で成り立つ関係であ
k=1
る. そのため,この関係を使って得られたがn=1でも成り立っているかを確認する必要
がある.もしn=1のときに成り立たないのであれば, a1=0, an=
( n≧2 ) 」 と
分けて答える.
Sn=_n+21m²+65n
文 系
数学の必勝ポイント
和と一般項の関係 S」を知りたいから~にLをASAからのにハを代
和の条件から一般項を求める
α=S-S-1 (n≧2), a1=S
のは同じ文字だから、連動している。

Answer 1

ぽにお

144番はSnがnだけの式ですのでSn-Sn-1で大丈夫ですが
150番はSnにanが入っていますので一度漸化式を作りそれを解くかたちになります。