Question

me

（1）の解答に書いてある1+n+1/2n(n-1)+1/6n(n-1)(n-2)がどうやって出てきたのかわかりません。
教えてください🙇

説
使用
ンカ
費
@
2
44
基本 例題 22 数列の極限 (5) ･･･はさみうちの原理 2
nはn≧3の整数とする。
(1) 不等式2"> 1/12 が成り立つことを,二項定理を用いて示せ。
N²
(2) lim の値を求めよ。
n→∞
指針 (1) 2"=(1+1)" とみて, 二項定理を用いる。
(1)
000
基本例題 23 数列の極限
1) 実数x に対して [x]を
[10²]
を求めよ。
102
_ 2 ) 数列{an}の第n項an
log10 an
lim
n→∞
lim
n→∞
(a+b)"=a"+"Can-16+nC2a²-262++nCn-1467-1+6
指針
(2) 直接は求めにくいから,前ページの基本例題 21 同様, はさみうちの原理
いる。 (1) で示した不等式も利用。 なお, はさみうちの原理を利用する解答の書き
について,次ページの注意 も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
n
を求めよ。
この問題も極限が
(1) [x] をはさむ形
I +A」 p.121 参
(2) an は n桁の正
(1) 任意の自然数
から
10²,

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■ページ
どのよ
の解き
たどり
ことで
+4=
1
解答
指針
(a+b)"=a"+nCam1b+nCzan-262+......+nCn-lab+b
(2) 直接は求めにくいから, 前ページの基本例題 21同様, はさみうちの原理
いる。 (1) で示した不等式も利用。なお, はさみうちの原理を利用する解答の書
について,次ページの注意 も参照。
CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち
(1) 2"=(1+1)" とみて
(1) n≧3のとき
2"=(1+1)"=1+nC1+nC2+......+nCn-1+1
よって
6
よって
(2) (1) の結果から
lim
non
≧1+n+
6
2"> {/n²"
1
N³
6
+1/12/n(n-1)+1/n(n-1)(n-2)
6
n³ +
= 0 であるから
5
0<
はさみうちの原理と二項定理
はさみうちの原理を適用す
n+1>
2n
6
1
6
n
n²
6
2n n
N²
lim- =0
n+∞ 2n
23
(A)
B
n=1,2の場合も
は成り立つ。
lim
n→∞0
42″≥1+nC₁+C₂+
(等号成立はn=3 )
各辺の逆数をとる。
■各辺にn² (0) を掛け
る。
10g10an を求めよ。
n
はさみうちの原理。
この問題も極限が直接求めにくいので、
(1) [x] をはさむ形を作る。 [x]はガウ
I+A」 p.121 参照), [x]≦x<[x]-
(2) anはn桁の正の整数 10mlSc
(1) 任意の自然数nに対して, [102m
102-1< [102] ≦105
よって
lim
22-00
lim 1
12400
説明
π一
であるから
an は n桁の正の整数である。
各辺の常用対数をとると
1
よって
0<
1
102
> tit
上の整数
1 [102m
10²n 10²n
1--
n
n
log10 an
注意 はさみうちの原理を誤って使用
例えば,前ページの例題22の解
nº
6
A から
2n n
はさみうちの原理は
n
= 1 であるから
a
が成り立