Question

あおい

解説を読んでも式変形がなぜこうなるのか全然分かりません！
解説にそって分かりやすく教えていただけると嬉しいです！！

□ 64 数列{an}の一般項を αn=n(n-1) (n=1, 2,3,......) とする。
(1) kが自然数のとき, ak+1² - ak²をkの式で表せ。
(2)(1) の結果を利用して,等式2=1n(n+1)を証明せよ。
k=1
図 54 (3)が自然数のとき, 1-² をkの式で表せ。
(4) をnの式で表せ。
n
k=1
01-81-8 A-1 82%
(1-

64 (1) ax+1²-a, ² = {(k+1) k} ² — {k(k − 1)}²
| 2 — 7] + = k²(k+ 1)² — k²(k − 1)²
= k²{(k+1)² − (k − 1)²}
=k².4k=4k³
x² = — - (a₁.²²-a₁²³)
1
(2) (1) から
よって 2k³= 2(a+1²-a)
x 2² x ² = = = {(azª²-a3²) + (asª²− a;)
ar
{I — wh](L+w\)
=— (a₂+1² - α₁²) ==—= a₁ + 1²
a1
{n(n+1)}²
= n²(n+1)²
$10
(3) ak+1³-a³ = {(k+1)k}³ — {k(k − 1)}³
よって+
=841
=k³(k+1) ³ - k³(k-1)³
(1 + x = k ³{(k+1)³ — (k − 1)³} = k³(6k²+2)
-=6k5+2k³
(4) (3) 5 +*²= 1/(a²-a3³) — — — *²³
(3)から
k³ + ²
ak
223
k5_.
2 K²=12(a²-a²²) - 24
k=1
k=1
+
n
4
k=1
(ak+1³-a³) = (a₂³a₂³) + (az³ — α₂³)
Om Ranu
++ (a₁ +1²-a₂²)}
(€
ゆえに, ① (2) から
2k³= 1 / n
k=1
1
= ∙n
=
+¹) = _n³(n+1)³
-n³(n+1)³.
12
ea
12
++(an+1³-a₂²)
3
=an+1³-a₁³=an+1³
n³(n+1)³. 12
-n²(n+1)²(2n(n+1)-1}
-n²(n+1)²(2n²+2n-1)
1 1
3*•\/n²³n+ 1/²
4
-n²(n+1)²
3

数列

Answer 1

こたつみかん

複雑な式は、部分ごとに分けて
途中式を挟んで記述する方が楽になります。
1行でガリガリ計算していくのではなく、
ここはこの値だな、ここはこんな式だな、
じゃあ2つ合わせたらこうなるな！
みたいに分けてみると、ミスが減ります。

（1）はYOSHIKIにn=k、k+1を代入して、
ak、a(k+1)をkの式で表します。あとは計算力です。
(そちらの解説だとまともに計算してますが、
有名な因数分解の公式 x^2－y^2=(x+y)(x-y)を
x=a(k+1)、y=ak、みたいに置き換えて考えると、
少しですが、楽に計算できるかと思います。)

(2)は（1）の結果を用いよ、とあるので(1)に注目。
問われているのがk^2についてなので、
k^2=…の形にすると、
k^2=¼{ ( a(k+1) )^2－( ak )^2 }
となります。両辺で和を取って、
{ ( a(k+1) )^2－( ak )^2 }の式に
k=1、2、3…、nと代入していくと、
途中のa2、a3、…、an までは消えてしまいます。
よって、答えが写真の通りになります。

(3)は(1)と同様にn=k、k+1を代入して計算。

《補足》
3乗の因数分解の公式として、
x^3 + y^3 = ( x + y ) ( x^2 - xy + y^2 )
x^3 - y^3 = ( x - y ) ( x^2 + xy + y^2 )
は便利なので覚えて良いです。

(4)は(２)同様に、
k^5=…の形にして、両辺和をとって、
それぞれの和について計算。
やっぱりk=1、2、3…、nと代入していくと、
途中のa2、a3、…、an までは消えてしまいます。
よって、整理してまとめて、
答えが写真の通りになります。

分からないことがあったら
聞いてくださいな。お疲れ様です。

こたつみかん

(1)の解説で
｢与式｣の代わりに｢YOSHIKI｣と書きました。
誤字です。YOSHIKIは召喚されません。
失礼いたしました。