1
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百合の数
先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある。
ただし n≧2 とする。 各車両を赤色、青色,黄色のいずれか1色で塗ると
き,隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何
通りか.
0212
AF CO
(京都大)
考え方
まずは具体例で考える.
n=2のとき, (2両の塗り方)
2両目が赤のとき,1両目は赤、青、黄のいずれでもよい。 (1)
2両目が青, 黄のとき, 1両目は赤でなければならない。
一般には,n両目を考え,それが赤か, 赤以外かで場合分けして考える.
解答
条件を満たすn両の車両の塗り方の数を an, そのうち最後
尾の車両が赤である塗り方の数をbm, 最後尾の車両が赤以外
である塗り方の数を cm とする.
a2=5, 62=3, C2=2
n=2 の場合,
また,
an=bn+cn
････①
.......
ここで,(n+1) 両目について考える.
(n+1) 両目が赤のとき, n両目は赤, 青, 黄のいずれでも
bn+1=bn+cn
よいので,
一方,(n+1) 両目が青, 黄いずれかのとき, n両目は赤で
なければならないので,
Cn+1=26n
ここで,b=1, G=2 とすると,②,③はn=1のときも
成り立つので、 n ≧1 として考える.
②③
bn+2=6n+1+26n
[bn+2-2bn+1=-(bn+1-2bn) ・④
これより,
| bn+2+bn+1=2(bn+1+bn)
5
2=2
④より, 数列{bn+1-26} は初項 62-261=3-2=1,
公比1の等比数列だから,
....
bn+1-26=1・(-1)^-1=(-1)^-1
・⑥
⑤より, 数列{bn+1+bn} は初項 62+b1=3+1=4,
公比2の等比数列だから,
bn+1+bn=4.2n-1=2n+1
⑥ ⑦ より, -3bn=(−1)n-1-2n+1, bn=(2²+¹+(−1)"}
③より,n≧2のとき,
Cn=26n-1=2.1/23(2″+(-1)^-1=1/23(2"-2 (-1)"}
1
{2n+2-(-1)"} (通り) (n≧2)
3
よって,①より,
-
an=
最後尾の車両の色に
注目して考える.
1両目 2両目
赤
赤
赤62
青黄赤赤
C2
両目(n+1) 目
赤 }ón 赤
園
赤+1
Cn
赤}ón 青
赤}6 黄
x2=x+2 より
*Cn+1
(x-2)(x+1)=0
x=2, -1
n≧2で考えると,
b3-262 NLC
=(3+2)-2・3=-1
・⑦6+1-26な部分
|=-1(-1)-2
=(-1)-1
-(-1)"-¹=(-1)"
