Question

kai

答えはこのようにあるのですが、この⭐️の問題の答えの導き方がわかりません、わかる方、ご教授願います。

例2.2 関数 g(x)=
(x-c ≤ a)
0 (z-c>a)
る。 関数 y=g(x)のグラフは, 次の図のように、 例題 2.2の関数y=f(x) のグラ
フ(図左)を軸方向に k倍し,軸方向にα倍したものをさらに,軸の正の
方向にcだけ平行移動したものである。
(a>0)のフーリエ変換 G(ω) を求め
y
0
y = f(x)
したがって, g(x) は f(x) を用いて,
y=kf(z)
1
f(x)= -1
0
a
=ke-icw
のフーリエ変換を求めよ.
と表すことができる. よって, フーリエ変換の線形性と性質
G(w) = F [kf (==c)]
= kF [ƒ (* = c)]
ol
y=
=k.f ( 5 )
g(x) = kf (* = c)
(0 < x≤ 1)
(-1≤x≤0)
(x=0, |x|>1)
-icw F [ƒ ( ² )] =
となる. 例題 2.2からF(ω)=2sincw であるから,次が成り立つ.
G(w) = kae-icu F (wa) = 2kae-icw sinc wa
例2.2の結果とフーリエ変換の性質を利用して,
間 2.3 の関数
y=kf (²c)
=ke-icw.aF (wa)
-10
y=f(z)
17
-1

F(w) = − (e¹ - e-iz)
ca
sinc
≠0 のとき F(ω)
のとき
=
2(1 - cosw)
w

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

Take

kaiさま
例題2.2より
　g(x)=1 (-1≦x≦1) , その他は 0
のフーリエ変換は G(ω)=2sinc ω です。　…①
この g(x) を用いると
f(x)=-1 (-1≦x<0) は y=-g(｛x-(-1/2)｝/(1/2))
f(x)=1 (0<x≦1) は y=g(｛x-(1/2)｝/(1/2))
と表せるから、もとめるものは
F(ω)
=ℱ［-g(｛x-(-1/2)｝/(1/2))］+ℱ［g(｛x-(1/2)｝/(1/2))］
=-ℱ［g(｛x-(-1/2)｝/(1/2))］+ℱ［g(｛x-(1/2)｝/(1/2))］
=-e^(i(ω/2))・ℱ［g(｛x｝/(1/2))］+e^(-i(ω/2))・ℱ［g(｛x｝/(1/2))］
=-e^(i(ω/2))・(1/2)G(ω/2)+e^(-i(ω/2))・(1/2)G(ω/2)
=-｛e^(i(ω/2))-e^(-i(ω/2))｝・(1/2)・2sinc (ω/2)　←①より G(ω/2)=2sinc (ω/2)
=-｛e^(i(ω/2))-e^(-i(ω/2))｝・sinc (ω/2)　■
さらに計算を続けると ω≠0 であるとき、
F(ω)
=-｛｛e^(i(ω/2))-e^(-i(ω/2))｝/2i｝・2i・sin (ω/2)/(ω/2)　←sinc (x):=(sin x)/x
=-(4i/ω)・sin (ω/2)・sin (ω/2)　←｛e^(i(ω/2))-e^(-i(ω/2))｝/2i=sin (ω/2)
=-(4i/ω)・sin²(ω/2)
=-(2i/ω)・2sin²(ω/2)
=-(2i/ω)・(1-cos ω)　←半角の公式 2sin²(θ/2)=1-cos θ
=-i｛2(1-cos ω)/ω｝　■
です。

kai

計算過程を丁寧に書いてくださり、分かりやすかったです。
誠にありがとうございました🙏🏻