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2014年度
(イ)
表面上を通る線の最短距離は、関係する展開図をかいて線分の長さを求めるのが典型的なパターンです。
その展開図が1枚目の画像です。
△ACDと△BCDはともに直角二等辺三角形なので、∠ADB=90°より△BDEで三平方の定理を使って解いています。
(ウ)
空間図形の中を通る線分は、その線分を含む面を取り出して解きます。
取り出したのが2枚目の画像です。
この手の問題はGPを△AGFの高さとして方程式を立てるのがよくあるパターンなのですが、△AGFが二等辺三角形なので相似を使ったほうが早く解けます。
△FPG∽△FHAとなるから、GP:AH=FG:FAとして解いています。
2015年度
(ア)
△AOCが直角三角形となるから三平方の定理より
OC=√91と求められます。
よって9π×√91×1/3=3√91πとなります。
(イ)
これも2014年度の(ウ)同様、空間図形の中を通る線分なので△ABDを取り出しますが、実は△ABC全体を見たほうが分かりやすいと思いますので、3枚目の画像を見てください。
DがBCの中点、△ABCが二等辺三角形であることから、DからABへの垂線DHの点HがABを4等分する点のBに近い点であることが分かります。
したがってAH=9/2、中点連結定理よりDH=√91/2となり、△AHDで三平方の定理を用いると解けます。
(ウ)
これは正五角形の黄金比のを知っていると一瞬で溶けますが、普通は知らないのでかなり難しい問題だと思います。解き方も特殊なので、他の問題には活かせないと思います。
パターンとしては2014年度の(イ)と同様、関係する展開図をかいて線分の長さを求める問題です。その展開図は4枚目の画像です。
まず、中心角が108°となります。この時点でよく分からんことになりますよね。
円錐の点Aが2ヶ所に分かれるので、一方をA'としています。
このAA'の長さを求めます。
AA'上に∠ACP=36°となるようにPをとります。
そうすると△APC∽△ACA'が成り立つので、解くことができるというわけです。
最後の問題は解けなくても大丈夫だと思います。(入試で出たら正答率1%も無いと思います…)
他の問題はよくあるパターンなので、解けるように繰り返し練習しましょう。
▶︎すけさん
1つ質問があって、送っていただいた2枚目の写真で先生にAH✖︎FG＝GP✖︎AFの式を立ててから計算した方がいいと教えてもらったんですが、そのやり方だとどうなりますか？
△AGFの高さとしてGPを見た場合の解き方ですね。
AH=3√2/2、FG=√2、AF=√5より
3√2/2×√2=GP×√5
3=√5GP
GP=3/√5=3√5/5
というように解くことができます。
垂線の長さを求めるときは、その垂線を高さとして三角形の面積について式を立てることがよくあるパターンなので、その先生のやり方のほうが一般的だと思います。
本当に助かります！ありがとうございます🙇♀️
大変だとは思いますが、最短距離特集⑤も投稿しているので良ければ教えていただきたいです。