Question

桜

2枚目の(ウ)に書かれている「転倒し始める時は〜」のところが分かりません。なぜそれが成り立つのでしょうか？

例題1
剛体のつりあい ①
次の文中の
図のように、直方体の一様な物体Aが,
水平と45°の傾斜をもつ地盤Bの上に,質
量の無視できるロープCによって取りつ
けられた構造物がある。 物体Aと地盤B
とは、接触しているだけである。
をそれぞれ記入せよ。
に適する数値(負でない整数)
A
4m
考え方の
キホン
M145°
mg45
2m
C
B
J
水平面
物体Aの質量 : m=1.0×10℃〔kg〕, 重力
加速度の大きさ:g=10[m/s'], 物体Aと地盤Bとの間の静止摩擦係
数および動摩擦係数 : μ=1/3,√2の値: 1.4とし, ロープCは十分強く,
伸び縮みしないものとする。
× 10°Nであり、地
× 10°N である。
(1) 静止しているとき, ロープCの張力は (ア)
盤Bが物体Aに作用する抗力の大きさは (イ)[
(2) 地震によって、 次第に強くなる上下動 (鉛直方向の動き)が起こ
り,ある加速度が物体Aにはたらいたら, 物体Aが転倒 (物体Aが
地盤Bに対して,すべり離れなどの動きを起こし、回転して倒れ
る状態)を起こし始めた。 その加速度の大きさは (ウ) m/s' であ
り、ロープCの張力は (エ)[ |×10°Nである。
(3) 地震によって、 次第に強くなる水平動が起こり,ある加速度が
物体Aにはたらいたら, 物体Aが転倒 ((2)参照) を起こし始めた。
その加速度の大きさは (オ)
m/s' であり, ロープCの張力は (カ)
× 10°である。
〔東京理科大・改〕
力学において最も重要なことは, 力を正しく見つけることである。
そして力がわかれば,それらを互いに垂直な方向に分解し、力のつ
りあいの式を2つつくる。 次に,適当な点のまわりの力のモーメントのつりあい
の式をつくる。あとは, 以上の3つの連立方程式を解くだけである。なお, 静止
摩擦力はつねに最大静止摩擦力が働いているとは限らないので, はじめからその
値を IN とおいてはいけない。 まず, 未知数として文字で表し (例えばF),つ
りあいの式を解いてFの値を求めてから, FUN の条件を課せばよい。また,
力のモーメントのつりあいの式は、任意の点のまわりのモーメントで考えてよい
が、なるべく計算が簡単になるような点を選べばよい。 すなわち, ある力の作用
線上の点を選ぶと, その力のモーメントが0になるので計算が楽である。
1カ学

解答
(ア) 求める張力を T, 地盤B から受ける垂直抗力をN, 静止摩擦力をF
とすると,物体Aが受ける力は次のようになる。 力のつりあいの式は、
水平:
:T+Fcos 45°N sin 45° = 0
鉛直 : Fsin45°+N cos 45°-mg = 0
また、右図のP点のまわりの力のモーメントのつりあいの式は
mg×2-T×2=0
③より,T= mg = 10×10°〔N〕
(イ) 一般に,垂直抗力と摩擦力の合力を抗力
という。よって、その大きさをRとすると,
R=√N2+F2 である。 ①~③より
N =√2mg=14×10°,
F = 0
A (G),
mg
④~⑥より
T"
m_(2g+B),
2
N
∴.R=√N2+F2=N=14×10°〔N〕
(ウ) 鉛直下向きに大きさαの加速度とすると,地盤Bから見て,物体 A
の重心Gに鉛直向きの慣性力maが働くので、見かけの重力加速度を
g'とすると,mg' = mg - ma だから, g'′ = g -αとなる。 したがって,
(1) のかわりにg' として
T' = mg' = m(g-α),
N' =√2mg'=√2mg-α), F' = 0
転倒し始めるときは,
T'=0 あるいは, N' = 0 である。
∴. α=g=10(m/s2〕
N"=
145゜
(ウ)より, T'=0×10°〔N〕
〔注〕 鉛直上向きの加速度なら, T'やN'は0になることはない。
(オ) 例えば,水平右向きの加速度をβとすると,Gには水平左向きの慣性
カmβが働く。
よって物体Aに働く力のつりあいの式は
水平:T" + F" cos 45°N"sin 45°-mβ=0
鉛直 F" sin 45° +N" cos45° mg = 0
また,P点のまわりの力のモーメントのつりあいの式は,
mg×2+m×1-T" x2 = 0
B
√2m (Ag-B),
4
(P)
F"
= √2mB
4
4