Question

Hi（受験生）

25.1
少なくとも〜の問題だから
背理法を使うのかなと思ったのですが違いました。
なぜ解答のように考えるのですか？
また、背理法を使う、と思うべき時はどんな時ですか？
あと、少なくとも1つということは2つ以上の可能性もありますが、「または」を使っても良いのですか？「AまたはB」で「AもBも両方」であることはあり得るのですか？

2
東京
例題25 少なくとも~、すべての〜の証明
b,c は実数とする。
abc=1, a+b+c=ab+bc+caのとき, a,b,cのうち少なくとも1つは1
であることを証明せよ。
a+b+c=ab+bc+ca=3のとき, a,b,cはすべて1であることを証明せよ。
(1) 1
まず結論を式で表すことを考えると,次のようになる。
(1) a,b,cのうち少なくとも1つは1である
⇔a=1 または b=1 またはc=1
⇔ (a-1)+(b-1)+(c-1)=0
よって, 条件式から,これらの式を導くことを考える。 このように,結論から方針を立て
ることは,証明に限らず、多くの場面で有効な考え方である。
CHART 証明の問題 結論から お迎えに行く
⇔a-1=0 または 6-1=0 または c-1=0
⇔ (a-1)(b-1)(c-1)=0
(2) a,b,c はすべて1である⇔a=1 かつ 6=1 かつc=1
解答
- P=(a-1)(b-1)(c-1) とすると
P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
abc=1とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると
P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0
練習
25
⇔a-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0
よって α-1=0 または 6-1=0 またはc-1=0
したがって, a,b,cのうち少なくとも1つは1である。
Q=(a-1)^2+(-1)+(c-1)^ とすると
Q=a²+b2+c²-2(a+b+c)+3
ここで,(a+b+c)=a+b2+c2+2(ab+bc+ca) であるから
a+b2+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=32-2・3=3
Q=3-2・3+3=0
ゆえに
よって α-1=0 かつ 6-1 = 0 かつ c-1=0
したがって, a,b,c はすべて1である。
a,b,c,d は実数とする。
1 1 1
(1) + +
a
b
C
ことを証明せよ。
a+b+c
一 a
4-12 10
<ABC = 0
⇔A = 0 または B = 0
または C=0
d+D (1) VIO
A²+B²+C²=0
⇔A=B=C=0
BO**A31 SI TAH
*T#
のとき, a,b,cのうち、どれか2つの和は0である
のとき a=b=c=d=1であることを証明
1章
5等式の証明

Answer 1

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きらうる

＞背理法を使うのかなと思ったのですが違いました。
＞なぜ解答のように考えるのですか？
背理法で解くこともできます。背理法以外で証明できて背理法で証明できない命題はありません。

a,b,cがすべて1ではないと仮定する。
a≠1、b≠1、c≠1より
a-1≠0、b-1≠0、c-1≠0から
(a-1)(b-1)(c-1)≠0　が矛盾することを証明する。
(a-1)(b-1)(c-1)
＝abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
＝1-(a+b+c)+(a+b+c)-1
＝0
よって(a-1)(b-1)(c-1)＝0となり、a,b,cのいずれかが1とならないとこの等式は成り立たないので、矛盾する。
したがって、a,b,cの少なくとも1つは1である。

＞また、背理法を使う、と思うべき時はどんな時ですか？
例えば、背理法の証明でよく問題集に載っている「√2は有理数でないことを証明しなさい」の問題。
背理法を使わないと、√2がすべての有理数(1や1/2や2/3など)とは違うことを調べていく必要がありますが、有理数だって無限にあるので不可能です。
このように、有理数をすべて調べるよりも、矛盾を1つ導き出してこれって違うよね？ということを言った方が簡単なのです。
このようなときに背理法を使います。

＞あと、少なくとも1つということは
＞2つ以上の可能性もありますが、
＞「または」を使っても良いのですか？
OKです。

＞「AまたはB」で「AもBも両方」
＞であることはあり得るのですか？
もちろんあり得ます。が、
今回の問題は「少なくとも1つが1」であることが証明できればいいので、2つも3つも1になることを問うているわけではありません。それは正直どうでもいいことなので、証明していません。