このとき,
事項 1,3
は,
(2) 2着目
に等しい
計算は不可能。
から始める
りの性質を
た余りは
であるから、
余りは
った余り1
7で割っ
を7で
余りは 4
た余りは
伺った余り
たりは 5
に余りは
た余り
りは 4
このと
基本 例題 117 余りによる整数の分類
nは整数とする。次のことを証明せよ。
((1)
+
²は3の倍数である。
mk, mk+1, mk+2,
> すべての整数は,正の整数mを用いて,次のいずれかの形で表される。
( k は整数)
(2) n²+n+1は5で割り切れない。
p.485 基本事項 [②2]
, mk+(m-1)
mで割った余りが 0, 1,2m-1
CHART 整数の分類
練習
そして、このmの値は,問題に応じて決める。
(1) 「3の倍数である」=「3で割り切れる」であるから、3で割ったときの余りを考える。
したがって,整数全体を, 3k, 3k+1,3k+2に分けて考える。
解答
(1) すべての整数nは, 3k, 3k+1, 3k+2 (kは整数) のいず
れかの形で表される。
n+2n²=n²(n²+2) であるから
[1] n=3kのとき n+2n²=9k²(9k²+2)
(2)5で割った余りを考えるから,整数全体を,5k, 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4に分
けて考える。
= 3.3k²(9k²+2)
[2] n=3k+1のときn+2n²=(3k+1)^(9k²+6k+1+2)
余りで分類
mで割った余りは 0 1 2 ....., m-1
→mk, mk+1, mk+2, *****, mk+(m-1)
15
=3(3k+1)²(3k²+2k+1)
[3] n=3k+2のときx+2n²=(3k+2)^(9k²+12k+4+2)
=3(3k+2)² (3k²+4k+2)
I (2) すべての整数nは,5k, 5k+1, 5k+2,5k+3,5k+4
よって、+2²は3の倍数である。
(は整数)のいずれかの形で表される。
[1] n=5kのとき
[2] n=5k+1のとき
[3] n=5k+2のとき
[4]
[(1) 共立薬大, (2) 学習院大]
n²+n+1=5(5k²+k)+1
n²+n+1=5(5k²+3k)+3
n²+n+1=5(5k² +5k+1)+2
n²+n+1=5(5k²+7k+2)+3
n=5k+3のとき
[5]=5+4のとき
n²+n+1=5(5k² +9k+4)+1
13 23 1 であり, n²+n+1は5で割り切れない。
それぞれの場合について,n²+n+1を5で割った余りは,
重要 119,120
nは整数とする。次のことを証明せよ。
の倍数である。
が3になることはない。
*********
3k-1, 3k,3k+1 と表し
てもよい。 この場合,
3k+1と3k-1をまとめて
3k±1と書き
NO
n+2n²=n²(n²+2)
=(3k±1)'{(3k±1)^+2}
=(3k±1)^(9k²±6k+3)
=3(3k±1)^(3k²±2k+1)
(複号同順)
として, 3× (整数)の形にな
ることを示すこともできる。
すべて3×(整数)の形。
5k-2, 5k-1, 5k, 5k+1,
5k+2 と表してもよい。
|Vs (11-37]N-
検討
左の解答のように, 整数を余
りで分類する方法は、剰余類
の考えによるものである (演
習例題 123 参照)。
[(1) 京都大〕
( p.491 EX82
487
4章
18
整数の割り算と商および余り
ありがとうございます！