Question

ri

数3の積分です。
青印のところへの変形はどのようにしているのでしょうか。
また、赤のところで、普通に積分してはいけないのはどうしてでしょうか。

円環体の体積
[応用
例題
80<r<bのとき, 円x2+(y-b) = re をx軸のまわりに1回転
(*)
してできる回転体の体積を求めよ。
解 ¥y=b+√√r² - x²
をx軸のまわりに1回転してで
きる回転体の体積をV, とする。
また,半円 y=b-√r²-x
をx軸のまわりに1回転してで
2
きる回転体の体積をV とする。
このとき, 求める回転体の体積
Vは,V1からV2を引いたものである。
よって
V=V-V2
YA
y=b+√√r²-x²
5-1965.JP=2&
4лb
πb S² √r² - x² dx
-r
-r
b
y=b-√√r²_x²
[²_√r² − x² dx = ²/7 nr²
1
πr ²
O
右辺の定積分は半径rの半円の面積を表すから
r
= π
xf (b + √²-x²)dx=xf(b-√7²-x²)'dx
π
x
³2x=v
ゆえに
V = 4πb • ²/r² = 2π²br²
HVR
注意例題8の体積Vは、円の面積 m2 と円の中心 (0, b)がx軸のまわりに描
く円の周の長さ26の積に等しい。
5
15
20

Answer 1

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ミッキー様

それぞれ展開して計算してもらえれば変形できます。
普通に積分したければ、x=rsinθとして置換積分すればOKです。

“普通に積分してはいけない”わけではないです。
数学の他の参考書でもそうですが、書いてある解答でなければいけないというわけでは決してないので、その辺は気にしすぎなくてOkです

ri

展開をしても解答のようにまとまりません、、

赤の方は置換積分すればできました！
ありがとうございます！

ri

できました！
ありがとうございました！