Question

みみ

数2微分の問題です。
K＝0の場合なんですけどこれは極大値ではないのでしょうか、、、？

10
指針
例題
重要例
関数f(x)=x^-8x² +18kx2 が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め
thes/ED
基本 211 214
10
2184 次関数が極大値をもたない条件
4次関数f(x)がx=pで極大値をもつ
x
x=eの前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる f'(x) +
であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」条件を
考える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメー
f(x) 大
ジするとよい。 なお, 解答の右横の図はy=x(x2-6x+9k) のグラフである。
(g(x)
|
f'(x)=4x³—24x²+36kx=4x(x²-6x+9k)
解答f(x) が極大値をもたないための条件は,(x)=0 の実数
解の前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことであ
る。このことは,f'(x)のxの係数は正であるから、3次
方程式 f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもたないことと
もし3つの解をもつと必ず極大値が存在する.
同じである。
x = 0 または x2-6x+9k=0
f'(x)=0 とすると
よって, 求める条件は, x2-6x+9k=0 が
[1] 重解または虚数解をもつ [2]x=0を解にもつ
[1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると
D≦0
極
小
か~こびと点線をつくらないようにする
=(-3)²2-9k=9(1-k)であるから
Fac
よって
k≧1
| or [2]x2-6x+9k=0にx=0を代入すると
ゆるカーブしたがって
k=0, k≧1
①異なる3実数解
(a <By とする)
α
極大
g!!!!
っぽ定口以上
あるこのう
極
小
B Y
杉やろ
①実×3
362
人
るのは ① の場合だけである。
( 4 次の係数が負のときは,図の上下が逆になり,極大と極小が入れ替わる。)
② 2重解ともう1つの実数解
α=B<y, a<β=y
W
極
極
小
1-k≦ 0
k=0
[福島大〕
a=B
a_B=y
② 実×2・唐1③実1 ×2(重)
00000
一般に, 4次関数f(x) [4次の係数は正] に対し, f'(x)=0 は
[参考] [4次関数の極値とグラフ]
3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。 その実数解をαとし、他の2つの解が実数で
あれば β, y とする。このとき, y=f(x)のグラフは,次のように分類できる。特に,極大値をと
k≧1
極
小
4x (x² - 6x +91) or.
餅を1つだけにすればよい
I
...
O
α
重×3
yA
p
20
k>1/
k=1
R
16
f(0)が異なる3つの
解をもつことが
条件
③ 1つの実数解と異なる2つの虚数解
または3重解 (α=β=y)
ww
極
4
x
347
INI
極
小

Answer 1

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ミント

k=0のときは
f‘(x)=0の解はx=0の重解とx=6となるので極大値は持ちません。

みみ

右のグラフでx＝0の時にf'(x)の符号が正から負に変わっているように見えるのですが、なぜ違うのでしょうか？

ミント

変わっていません。
負から正になっているだけですので、もつのは極小値です。