Question

tkhsre

解答の最初序盤で、なぜ連続である事を示したいのに左側極限しか求めていないのですか？
また、この問題のように範囲事に異なる関数が与えられている時の微分可能性を考える時は、それぞれの関数について左側右側極限を考える必要がありますか？

次に、3枚目の画像の？がついてる部分の式変形が分かりません。a＋b+1はどこへ行ったのですか？

関数 f(x) を次のように定める)
log x
IC
f(x)=
(1)
((x≥1)‹√$60 (-12 mil $(1) (s)
x2+ax+b (x<1)
おける
関数 f(x) が x=1で微分可能であるように, α, b を定め
JUSTERBRO
=1 は用いてよい.
9
このとき
よ。 ただし, lim
h→0
log (1+h)
h

まず, x=1 で連続だから, limf(x)=f(1) が成りたつ.
log¹=0
1
lim (x²+ax+b)=0
x→1-0
• 1+a+b=01
このとき,
lim
h→ +0
ƒ(1+h)-f(1)
h
los (1th)
Ith
= lim
h→40
h
= lim
ん→+0
(y))
x-1
=
1 [log (1+h)-0}
h
lim
la + {l # (19h)
no to n
Ith
88

= lim
h→+0
1
1+h
また, lim
h→-0
= lim
h→-0
Hy
log (1+h)_₁) 45 [CRO
-=1
h
ƒ(1+h)-f(1)
h
h²+(a+2) h+a+b+1
= lim
h→-0
RHOM
(1+h)²+a(1+h)+b
h
h
= lim (h+a+2)=a+2? +2²=4)
h→-0
f' (1) が存在するので,a+2=1 ......2
1, 2th, a=-1, b=0
105
08
◄ƒ(1)=0
(X < 1 +9)
(1+a+b=0

Answer 1

ジャスタウェイ

赤い部分は問題の解答に付け足した部分です！

tkhsre

x>1の区間については考えないのはlogx/x（x≧１）の関数が与えられているためですか？

8行目の極限はなぜ左側から原点に近づけてるのですか？普通の導関数を求めるときの極限は単に原点に近づけるような書き方をしませんか？

13行目の極限はなぜ「xを左から限りなく1に近づける」と書いてあるのにｈ→＋０と書いてあるのですか？ｈ→１＋０ではないのですか？

ジャスタウェイ

そういうことです。x≧1の区間にはx＝1も含まれているので、f(1)はlog(x)/xにx＝1を代入したものであります。逆にわかっていないのは、x＜1の区間でx＝1につながるか（連続であるか）ということなので、x＜1の区間の関数において左から極限をとります。

導関数は求める関数がx＝aで「微分可能」であるとき、「（左からとった極限）＝（右からとった極限）」となります。つまりわざわざ左からとった極限と右からとった極限を区別して書く必要がないのです。したがって、x→aやh→0といったように教科書では書かれています。
この問題ではこの逆を考えて、x＝1で「（左からとった極限）＝（右からとった極限）」ならば、関数は微分可能ということを使っています。

xを左から1に左から1に近づけるということを考えているので、もともとは、x→1－0を考えています。これを言い換えると、x－1→－0です。ここでx－1という変位の部分をhとおけば、h→－0となります。つまりhというのは変数xと違って1に近づけるものではなく、「xと1の幅の部分」を表しているので幅が0になるように考えています。

tkhsre

だと今回の場合は、h→-0と表記しているのは、もう一方のh→+0で極限を持つことが分かっているから(区間がx≧1の関数logx/xが極限を持つ事が分かっている)残りの左からの極限も持っていることだけを示せばいいのですか？

x軸上の1とある点xとの距離であるhという値を左から1に限りなく近づけた時の極限値を求めることをこの式は意味しているのですかね？

ジャスタウェイ

左からの極限を持っていることを示すというよりは、左からの極限が既知の右からの極限と一致しているかを示します。

「xを左から1に限りなく近づける→1からxまでの変位hを0に限りなく近づける」という操作に置きかえて微分の値を求めています。
(距離というと値は正なので厳密には正負のある幅ということに注意です。)