Question

れもん

合成関数の微分の痕跡とはどういうことでしょうか🙇🏻‍♀️

226 第6章 積分法
練習問題 9
次の不定積分を,置換積分によって計算せよ.
(1) 2x (x²+1)³dx
(2)
sin³rcos.xdx
(3) 21 dx
e2x
e2x+1
IC
(4)
dx
精講
(1)~(3)は,すでに練習問題8で行ったものですが、あらためて「置
換積分」という手法に則って行ってみましょう.「かたまり」と見
た部分をtと置換することでうまくいきます。
解答
(1) t=x2+1 とおくと,
dt
=2x すなわち xdx=
dx
-dt
与式=f2(x+1)xdz=f24812d=Stat
置換!
2t5.
= — — t°+C==(x+1)+C
6
(2) t=sinx とおくと
dt
dx
-=COSx すなわち cosxdx=dt
与式 = sin' rcos.rdz=ffdt
=Stat = r²+c
t+C
1
置換!
sinx+C
4
(3)t=e2+1 とおくと
dt =2e2z すなわち @ardx=12
dx
e² dx = Sdt
=
2.x
1
2
与式=faut+1
2x
置換!
=
2
-dt
-log|t|+C
.log(e^x+1) +C

練習問題 10
(2)
次の不定積分を,置換積分によって計算せよ.
(1) fx√x+1dx
IC
=dx
da
精講 p224 (*)のとt を入れ替え,左辺と右辺を逆にすると
りいえば、
それ以外は右 [f(x)dx = f f (x) dxdt
..(**)
という式が得られます. このパターンの置換積分もよく登場するので,練習
ておきましょう.
tanade
(1)t=x+1 とおく.
x=t-1 より
dx
逆に
解く
=1 すなわち dx=dt
dt
解答
与式=xvr+1dr=f(t-1)√/Fdt
=S(ピーt)dt=
25
=f(that=2/21-2213+
5
2
2
t2v
-
tvt+(
5
2
= (x+1)x+1/2 (x+1)x+1+C
5
t=1². t½
3

練習問題 9 (1)
練習問題 10 (1)別解
229
t=x2+1
t=√x+1
とすると x=t2-1
dt
1
dt
=2x すなわち x=-
dx
dx
2
dx
dt
√2x(x²+1)³dx
-√2(x²+1). rdx
=
Cin.
= f2t5.
1 dt
dx
2 dx
=√2t5.dt
COST
=2t
Sx√x+1dx
dx
=√(2-1)
-S(t²-1)+ ddt
=√(2-1)t. 2tdt
上の2つの計算を見比べるとわかりますが,この2つの置換積分は,公式の
使い方がまるっきり逆です.
ざっくりいえば, 式の形に 「合成関数微分の痕跡」があるものは左のタイプ
の置換,それ以外は右のタイプの置換になります。

微分

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

和

表現の一つなので、わかる必要はないと思います

練習問題9は、すべて
　∫ f( g(x) ) × g'(x) dx
の形をしています
(1)はf(x)=x⁵、g(x)=x²+1
(2)はf(x)=x³、g(x)=sinx、など

ところで、合成関数F( g(x) )を微分すると、
（F'=fと書くとして、）f( g(x) ) × g'(x)になるのでした
練習問題9は、これの不定積分の問題です
だから、合成関数の微分の痕跡と呼んでいるのでしょう

そして、この不定積分の結果は、
もちろんF( g(x) )になります

れもん

回答ありがとうございます🙇🏻‍♀️

f( g(x) ) とF( g(x) )というのは同じものでしょうか？🙏🏻

和

いいえ、上の回答にあるように、F'=fで、別物です
f(x)=x⁵なら、F(x)=(1/6)x⁶です

(x²+1)⁵ × 2x　← f( g(x) ) × g'(x)
の不定積分は、結果としては
(1/6)(x²+1)⁶　← F( g(x) )
です

れもん

分かりました！
ありがとうございます🙇🏻‍♀️