✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨
(1)についてはn=kの時の成立を仮定したら次はn=k+1でも成り立つことを確かめる必要があり、漸化式を利用したいので、そのような式変形をしています。
(2)目標の不等式の形を無理やり作りますが、その際にa_(n-1)が出てくるのでn≧2が必要となります。
n=1は等号成立です。
(3) (3)の回答の1行目の式ではさみうちの原理を使っています。
(1)については漸化式より1+√(1+ak) =ak+1です。
(2)については、
まず、(2)の解答2行目より、
2-√(1+an)=(3-an)/(2+√1+an))
であり、(1)から、
1/4＜1/(2+√(1+an))＜1/3
です。3-an＞0より、不等号は変わらず、
(3-an)/4＜(3-an)/(2+√1+an))＜(3-an)/3
です。不等式の中辺は(2)の解答の1行目より、3-an+1なので、
(3-an)/4 ＜3-an+1 ＜(3-an)/3
と言った具合に変形しています。分母が消えたのではなく、同じものに置き換えているだけです。
(3)については、
(1)より3-an＞0だから、これと(2)の結果を合わせて、
0＜3-an＜(1/3)^(n-1)*(3-a1)
となり、不等式の両辺のn→∞の極限をとると、右辺は(1/3)^(n-1)*(3-a1)→0となりはさみうちの原理からn→∞のとき、3-an→0となります。
あとは、3-an→0となるにはan→3出ないといけないので、n→のとき、an→3となります。
なるほど！9割8分わかりました！
この問題は置き換えや前の問題の答えを使って次の問題を解く風の問が多くて難しかったです。
自分で再度振り返ってみます。ありがとうございました！
(1)について、なぜ2<1+√1+ak<3となる時2<ak+1<3と言えるのですか？何か計算したらこうなりますか？
(2)について、無理やり不等式を作る過程の途中の、1枚目の画像の最後の部分が分かりません。分母にあった2＋√1＋anはどこに行ったのですか？
(3)について、3－anの大小を(1)のan<3をいじったら
<0となり、また0<anも加えたら0<3－an<0が出来るから極限は0だからanの極限は3ということですか？しかし、3－anとanは別のものなので、∴で繋がっているのがよく分かりません。