Question

あや

オリスタ17 27
マーカーで囲った部分がどういうことか分かりません。

x2n+2+ax+b
27 関数 f(x)=lim
がx=1
x²n+2
で連続となるように, α, b の値を定めよ。
n→∞

27 [1] |x|<1のとき f(x)=
[2]x=1のとき f (1) =
[3] x>1\_ƒ(x)=lim
よって
1+a+b a+b+1
1+2
3
n→∞
7-1
x=1で連続になることより
b
2
a+b+1
3
a=0,b=2
0+0+ b b
0+2
2
x² +
= = 1
=
a
xn
x2+0+0
1+0
1+
=
+
lim f(x) = f(1) = lim f(x)
x-1-0
x-1+0
2
x 2n
=x²
b
2n
X²
ER

関数の連続性

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

哲治

x^n(n→∞)の値がx<1,x=1,x>1で全く異なる。
ゆえにここでも与えられた関数f(x)の極限を考える時に場合分けを考えないといけない。つまり、x=1での連続を証明するにはx→1+0,x→1-0 右極限と左極限が同じことを述べなくてはならない。

あや

マーカー部分がなぜこうなるのか分からないので教えてください。

哲治

|x|<1のときx^n→0(n→∞)は理解できますか？
だからx^(2n+2)とか全部0に収束するわけです。
よって極限とると
分子0+0+b 分母0+2
となります。

あや

|x|<1のときx^n→0(n→∞)が理解できないです💦

哲治

例えば具体的に0.1で考えて見ればよいです。
(0.1)²=0.01
(0.1)³=0.001
という風にどんどん小さくなっていくのがわかると思います。

あや

でもxがー0.1の時は振動しますよね…？
あと[3]はx＞1なのに、なぜ[1]はx＜1じゃなくてー1＜x＜1なんですか？

哲治

絶対値に意味があります。-0.1ならば正負の符号が代わりながら、減衰振動しながらやがてゼロに収束します。
絶対値が1より大きければ、逆にどんどん絶対値が大きくなって絶対値は無限大に発散します。

あや

なるほど！！ありがとうございますm(_ _)m