Question

Bi

求此題解析

第3 頁
共7 頁
7. 試求滿足 n”是n位數的正整數n共有幾個?
(1) 1個
(2) 2 個
66
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 0個
U
&
A 9=36
二
3125

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

可知

考慮n^n的對數值是nlogn。
如果n=1，那麼1^1=1是1位數(顯而易見)。
如果n>1，那麼考慮
nlogn=(n-1)+logx (其中0≤logx<1，且如果n^n是n位數的話)
n(logn-1)=logx-1
n(1-logn)=1-logx
右式的數範圍是0<1-logx≤1
也就是說
0<n(1-logn)≤1
令f(n)=n(1-logn)，可以嘗試列表（有點像勘根定理那樣）
n值 | f(n)
2 | 1.3980
3 | 1.5687
4 | 1.5920
5 | 1.5050
6 | 1.3314
7 | 1.0843
8 | 0.7760
9 | 0.4122
10 | 0.0
11 | -
…(稍微要計算一下，需要背一下log2，log3，…，log9的大約值。)

當n≥11時，n(1-logn)<0，而且會越來越小(負越多)。
所以，可以發現，n=8和n=9時，剛好n(1-logn)介於0~1之間，
這就表示8^8是8位數，且9^9是9位數。
而n=10剛好是0，但是10^10是11位數，不是題目要的情況。
所以答案是3個。

Bi

謝謝！