Question

めがね

お願いします

第4問
#
(1) 1.2.3,4,5,6,7,8のとき17で割ったりは表1のように
"²
#³² & 17
(選択問題) (20)
17割ったときの余りについて考える。
となることがわかる。
I
1 4 9
4
=9のとき､9-17-8 であるから
9¹-(17-8)
17-2×17×8+8?
-17 (17-2x8)+8¹
3 4
16
9
0)² = (12-1² 15
表1
したがって 9 17で割った余りはアイ
同様に考えると、 356" を17で割った余りは
16
25
8
である。
2
7 8
64
49
15
13
16
225 are 24
324356
ウ である。
(数学Ⅰ・数学A第4問は次ページに。)
数学Ⅰ・数学A
(2) 171+1=①を満たす自然数の組について考えてみよう。
① 変形すると
171-²-1
(+1) (-1)
となり、 17 は素数であるから、+1または-117の倍数である。
+1が17の倍数であるとき、自然を用いて
n+1=17p
17p-1
と表される。
⑦のように表される月のうち、15 100 の範囲にある最大のものは
エオである。
また、1が17の倍数であるときも含めると、①を満たす自然数の組で、
IS100 を満たすものは全部でカキある。
(3) 17m +1･･････③ を満たす自然数の組について考えてみよう。
を変形すると
17m-n¹-1
- (n²+1) (n²-1)
となり、 17 は素数であるから、 +1 またはパー1 が 17の倍数である。
+117の倍数となるのは､が、 17 で割ると
余る数または
ケコ 余る数のときである。
また、w-117の倍数であるときも含めると、を満たす自然数nの組
で, 15 100 を満たすものは全部で サシあり、このうち最大のは
スセである。また、 〃が最小となるときのの値はソタである。

(3)
17m+1=③ を変形すると
17m=n^-1=(2+1)(2-1)
17 は素数であるから+1またはがー1は17の倍数である。
5
また, 17m0n² +1>0 より ㎥-10 であり, n>1
²-117の倍数となるのは, (2)i), (i)の場合であり,これを満たす自然数
mnの組で、1≦n≦100 を満たすものは全部で10個ある。
n²+1が17の倍数のとき, 自然数を用いて
n²+1=17g
n2=17g-1=17(q-1)+16
と表されるから,「n”を17で割った余りは16である ...... ⑥」。
⑥を満たす最小のnは, 表1 より n=4
また, (1) と同様に考えると, 整数αに対してと (17-α) を 17で割った
余りは等しいことがわかる。
さらに, 整数αに対して, a と (a+17) を17で割った余りは等しいこと
がわかる。
よって, n2+1 が 17の倍数となるのは, n が 17 で割ると4余る数または
13余る数のときである。 したがって, ⑥を満たすnは整数kを用いて
n=17k+4 または n=17k+13