Question

あや

演習β 第14回 4
青マーカーが、なぜこうなるのか分かりません。あと、赤マーカーで囲ってある式の変形を教えてください。

|4[2007 京都大]
座標空間で点 (3,4, 0) を通りベクトルa=(1, 1, 1) に平行な直線をℓ, 点 (2,-1, 0)
を通りベクトル=(1,-2, 0) に平行な直線をとする。 点Pは直線ℓ上を, 点Qは
直線上をそれぞれ勝手に動くとき, 線分PQの長さの最小値を求めよ。
点Pは直線ℓ上, 点Qは直線上にあるから, s, tを実数として
OP=(3, 4,0)+s(1,1,1)=(3+s, 4+s, s)
OQ=(2, 1, 0)+(1, -2, 0)=(2+t, -1-2t, 0)
と表される。
このとき
したがって
17
2
よって, PQ はs=--
-
PQ=OQ-OP=(t-s-1, -2t-s-5, -s)
|PQ|2=(t-s-1)+(2t + s +5)+ s2
√14
2
=3s2+2st+5t2+12s+18t+26
=3s2+2(t+6)s + 5t2 + 18t + 26
をとる。
t+6\² 2
=3s+ +6) ² - 1/² (1+6)² + 5+² + 18t+26
3
=3(s+1+6) ²+¹/²+14+14
t 2
3
-
t+6
3
= 3/s +
14
t +6\2
7
+3²(t+²2² +
3
2
かつた
3
2'
3
すなわちs=t=- 110 のとき最小値
2

Answer 1

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ケイ

平面でも空間でも同じですが、
直線というのは、ある1点と傾きが分かれば表すことができますね。
なので上記をベクトルで表すと、青マーカーのところになります。平面で考えて、空間でも同じことをやってると思ってください

赤マーカーは、1行目はベクトルの距離の定義そもそもで、2、3行目は展開して降べきの順にしただけですね
4、5、6で平方完成をしてます。

文字の式が与えられていて特に２変数なので、微分で求めることはできず、もちろん相加相乗平均は使えないので、平方完成によって最小値を求める方針ってことです。

あや

ありがとうございます！