Question

tkhsre

(5)の解き方を教えてください🙏

次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
(1)*1, 1+2, 1+2+3,1+2+3+4,
(2) 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, ....
(3) 1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27,
(4) 12-22, 32-42, 52-62,
(5) 1, 11, 111, 1111,

Answer 1

TAA

第k項は10^k-1+10^k-2+…+1となるので、等比級数で表せることができ、

そのkについて1〜nまでΣを取ります。

tkhsre

初項1公比10の等比数列として見なせるのですか？
しかし、なぜ公比が10になるのですか？前後を割っても10.090909.....と永遠に続いてしまうんですよね、

TAA

1,11,111…の並びは等比数列ではありません。

1つ1つが「等比数列の和」の数列なんです。

だから「等比数列の和」の和をとっているわけです。

発想としてはこの問題の(3)と同じです。これが理解できたなら、

1,1+3,1+3+9,…

これが

1,1+10,1+10+100,…

と置き換わると考えればすぐにわかると思います。

TAA

ごめんなさい、Σの計算で2箇所ミスがありました。💦(kの式は合っています)

正しくは、1/9{10(10^n-1)/10-1-n}です。なので答えは、

1/81(10^n+1-10-9n)となります。

kやnに具体的な値を代入してみて確認してみて下さい💧

tkhsre

第1項までの和が1、第2項までの和が11、第3項までの和が111、、、ということなんですかね？

(5)は(3)の演算記号が省かれているバージョンの問題って事で、考え方は(3)と同じなんですかね？

TAA

第1項目は初項1,公比10の等比数列の1項目までの和で1,

第2項目はその等比数列の2項目までの和で1+10,

第3項目はその等比数列の3項目までの和で1+10+100,

…

となります。そういう意味だったら合ってます。

(5)は(3)の+が省略されているバージョンと考えて問題ないです。