Question

ぽむぽむお

高校数学の不等式の質問です。
19番の注①'かつ②'⇒③だが逆が成り立たないので③は必要条件に過ぎないため範囲が広がってしまうと解釈しました。
しかし、20番の写真最後の変形が何故許されるのでしょうか？これも同様に必要条件になってしまっているのではと思います

【解答1】
{
①',②' で表される ab 平面上の領域 D は右図の
を含む網目部分である.
[1≦f(1) =1+a+b≧2
2≤ f(2)=8+4a+2b≤4
0≤a+b≤1,
-3≤2a+b≤-2.
k
とおき、 直線 1:6=-3a-9+
9 + 1/32 2 が領域 D と共有点
①,②より、
...
f(3) =27+9a+3b=k
をもつときのんのとり得る値の範囲を求めればよい.
の傾きに注意すると,
...①
(i) l点(-2, 2) を通るとき, maxk=27-18+6=15.
(i) l点(-4, 5) を通るとき, mink=27-36+15=6.
よって, グラフより,
6≤ f(3) ≤15.
【解答2】
=-3f(1) +3f(2)+6.
これと−2≦-f(1)≦-1, 2f (2) 4 より
3.(-2)+3·2+6≤ƒ(3) ≤3•(−1)+3.4+6.
-4≦a≦-2,2≦b≦5.
(注) ①'②' から,
-2²7497
20 【解答1】(文字の消去)
-(-4,5)
min
(-3,4)
|6|=|1-α|≦2 より -1≦a≦3, かつ |a|≦2.
同様にして,
(-3,3)
a+b=f(1)-1, 2a+b=-
0=1/12 (2) -4.
∴a=/12f(2)f(1)-3, b=2f(1)/12f (2) +2.
(3)=27+9a+36=27+9/12S(2) S(1)-3}+3{2S(1) - 12/2f(2)
+2)
ここで, ①,②より,
.. 6≤ƒ(3)≤15.
:: -1≤a≤2.
-1≤c≤2.
: ac+bd=ac+(1-a)(1-c)=2ac-a-c+1
=1/12 (24-1)(2c-1)+1/2
6A
:. 27-30≦f(3)=27+9a+36≦27-3.
3≦f(3) 24 としてはダメ!! その理由は, α, 6 はそれぞれ独立して③
の範囲 (D を含む, 両軸に平行な辺をもつ長方形内) を動けないからである.
-3≤2a-1≤3, -3≤2c-1≤3.
1
(-3). 3+1 ≤ac+bd≤ 1/2.3.3 + 1/2.
-(-2, 2)
max
-2
a
(答)

✓ 15 方程式x2+ax+
x+bx+0 は2つの実数解 y, 8 (y<8) をもつとする。
=0
a
0
a<0<bのとき, α, B, y, 8 を大小の順に並べよ .
16 xの2次関数f(x)=ax2+bx+c において,(0)>0とし、
グラフは点 (1,1) および (3, 5) を通るものとする.このとき,
値を最大にする定数 α, b, c の値を求めよ。
17 3次方程式x3x+1=0 …..(*) について考える。
0 (1) (*)は異なる3つの実数解をもつことを示せ。
(2) (*)の解で最大のものをαとし, β=α2-2, Y=β2-2 とする。
このとき, B, y は (*)のα以外の2解であることを示せ｡
18 nが整数であるとき
S=|n-1|+|n-2|+|n-3|+..+|n-100|
の最小値を求めよ。 また, そのときのnの値を求めよ.
\19 f(x)=x+ax2+bx (a,b は実数)とする.
をもち、22 整数
1≦f(1)≦2 かつ 2≦f(2)≦4
が成り立つとき, f (3) のとり得る値の範囲を求めよ.
20 a, b, c, d は実数で,
|4|≦2, |6|≦2, |c|≦2,|d|≦2, a+b=1, c+d=1
をみたす。
このとき, ac+bd のとり得る値の範囲を求めよ.
について
ずれ
23*
(東京学芸
(名城大)
x

Answer 1

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TAA

変数(a,b)が「独立で自由に動けるか」ということが関係してきます。

19の場合は、(a,b)の動く範囲は不等式を連立して解くと右上図のような平行四辺形となり、これが束縛条件となります。2つの不等式それぞれにaとbが入っているため、独立では動けません。

③の範囲は連立不等式を解いたときの(a,b)それぞれの最大値、最小値なので長方形を表しており、これは束縛条件から外れるので単なる必要条件となります(ここまではよろしいかと思います)

20の場合は文字を4つから2つに減らすことができるので、aとcのみで表せます。不等式の条件としては①,②がありますが、aとcが同じ不等式の中に同時に含まれることはなく、それぞれ独立しているため19のような束縛条件はありません。

よって、aとcの最大値、最小値をそのまま使って求めることができます。

ぽむぽむお

ありがとうございます。言っておられることは理解できました。しかし
-3≦2a-1≦3かつ-3≦2c-1≦3
⇒-9≦（2a-1）（2c-1）≦9
（逆はなりたたない）
結局、必要条件じゃないんですか？だから結局広い範囲が出てるんじゃないかと。そこが気になります。

TAA

おそらく、必要条件と十分条件の関係が逆転してしまっています。

2枚目のベン図左(20番)を見るとわかるのですが、-9≦(2a-1)(2c-1)≦9となるa,cは-3≦2a-1≦3,-3≦2c-1≦3の他にもあります。しかし、この2つの条件を満たすa,cを代入したときのMaxで取れる値は水色の領域内には確実に入ります。

19番はどうなるかというと、-4≦a≦-2,2≦b≦5となるのは水色の領域内を完全に脱してしまっています。これはどうして起こるかというと、1枚目の図からわかるように長方形の領域が束縛条件の領域から完全に出てしまっているからです。

言葉だけでの説明が難しかったので図を用いて説明しましたが、これでどうでしょうか。

ぽむぽむお

図を使ってくれたおかげでよく分かりました。本当にありがとうございました

TAA

良かったです。こちらこそありがとうございます！