Question

錦

この問題はなぜD1が完全平方式となればいいと言えるんですか？

重要 例題 51 2次式の因数分解 (2)
(0①①①①①
4x2+7xy-2y²-5x+8y+kx,yの1次式の積に因数分解できるように,
定数kの値を定めよ。 また, そのときの因数分解の結果を求めよ。 [類 創価大〕
|基本 20,46
CHART OLUTION
2次式の因数分解 =0 とおいた2次方程式の解を利用
(与式)=0 とおいた方程式をxの2次方程式とみたとき (yを定数とみる), 判別
—(7y—5)—√D₁
式をD, とすると、与式は4{x-(7y-5)+√D}{x-(y-5)-D} の形
8
8
に因数分解される。D1はyの2次式であり,このときの因数がx,yの1次式と
なるための条件は √DIがyの1次式⇔ D1 が完全平方式
すなわち D=0 として,この2次方程式の判別式D2 が 0 となればよい。
解答
(与式)=0 とおいた方程式をxの2次方程式とみて､
4x²+(7y-5)x-(2y²-8y-k)=0 ①
の判別式をDとすると まれている。これまでと同
っと
D=(7y-5)2+4・4(2y²-8y-k)=81y²-198y+25-16k
与式がxとyの1次式の積に分解されるための条件は、 ①の解
がyの1次式となること,すなわち D1 がyの完全平方式とな
ることである。
の
D=0 とおいたの2次方程式 81y²-198y+25-16k=0 0
判別式をD2 とすると
(2+8)(€ 9) = (86)
D₂=(-99)²-81(25-16k)=81{11²—(25—16k)}=81(96+16k)
4
D2=0 となればよいから 96+16k = 0 よって
x=
ゆえに
......
このとき, D1=81y²-198y+121=(9y-11)2 であるから, ①
の解は
すなわち
x=- , -2y+2
y-3
4
$=44-830-81 m2;&ck:
__(7y-5)±√(9y-11) __(7y-5)±(9y-11)
8
8 MURDER
inf. 恒等式の考えにより
解く方法もある。(解答編
および p.55 EXERCISES
15 参照 )
(5x)=4(x−y=³){x−(−2y+2)}
kid
=(4x-y+3)(x+2y-2)
◆ D1 が完全平方式 ⇔
2次方程式 D1=0 が重
解をもつ
=)
AGOR
adot
計算を工夫すると
992(9.11) 2=81112 は、
←√(9y-11)^=|9y-11|
であるが, ±がついて
いるから, 9y-11の絶
対値ははずしてよい。
(括弧の前の4を忘れな
-
PRACTICE････ 51④
を定数とする2次式 x2+3xy+2y2-3x-5y+k がx,yの1次式の積に因数分解
できるときの値を求めよ。 また, そのときの因数分解の結果を求めよ。
[東京大
2章
7
解と係数の関係

Answer 1

Nn_nt

①に解公式を使うと
x=-7y+5±√D1/8②
D1はyの2次式で、あるkの値で完全平方式になります。
そのkの値とはD1の判別式D2=0を満たすkです。
このときxの解である②をyの1次式だけで表せます