คำตอบ
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p, qがax²+bx+c=0の解
⇔f(x)= ax²+bx+cとしたとき、f(p)=0 & f(q)=0
⇔fのグラフとy=0 (x軸)の交点のx座標はp, q
です。
二次方程式ax²+bx+c=0が解を持たない
⇔ f(x)= ax²+bx+cとしたとき、f(r)=0となるrは存在しない
⇔ fのグラフとy=0 (x軸)は交わらない
です。
(1)a>0のとき
fのグラフとy=0 (x軸)は交わらない
⇔fの最小値>0
です。
fの最小値を求めるためにfを平方完成すると判別式が出てきて、
fの最小値>0⇔判別式<0
となるので、結局
二次方程式ax²+bx+c=0が解を持たない
⇔ f(x)= ax²+bx+cとしたとき、f(r)=0となるrは存在しない
⇔ fのグラフとy=0 (x軸)は交わらない
⇔fの最小値>0
⇔判別式<0
となるからです。
(2) a<0のとき
fのグラフとy=0 (x軸)は交わらない
⇔fの最大値<0
です。同じようにやってけば同じ結果になります。
ちなみに、二次方程式の解の公式は
ax²+bx+cを平方完成したもの=0
を解いたものです。(2枚目の画像)
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