傷
(1)(x-x-22 ) の展開式の一般項は
5!
p!q!r! (x²)*(−x³)*(− ³ )* =(−1)***._513r
ただし p+g+r=5 .... ①, p≧0.2020
Dlgly 20+3
xの頃は、2p+3g-r=7…...
①+② から
3p+4g=12
3p=12-4gとp≧0から
は0以上の整数であるから
q=0のとき 3p=12,
q=2のとき 3p=4,
は0以上の整数であるから
よって, ① から
したがって 求める係数は
(-1)..
5!32
0!3!2!
12-4q20
q=0, 1, 2, 3
q=1のとき 3p=8
q=3のとき 3p=0
+
(p, q)=(0, 3), (4, 0)
(p. q. r)=(0, 3, 2), (4, 0, 1)
② のときである。
+(-1)・・
5!3
4!0!1!
(2) (a+b+/1/12/12/2) の展開式の一般項は
7!
7!
1!4!0!2! 2!3!1!1! 3!2!2!0!
+
7!
- a ² b ² ( ¹² ) ² ( ²² ) ² = · a-fa-s
7!
plg!rls!
plg!r!s!"
ただし p+g+r+s=7, p ≧0, g≧0, y ≧0, s≧0
ab² の項は、 pr=1, g-s=2のときである。
pr=1から
r=p-1, g-s=2 から
s=q-2
p+g+r+s=7に代入して p+q+(p-1)+(q-2)=7
整理すると
p+q=5
また,r=p-1 と r≧0, s=q-2とs≧0から p≧1,g≧2
p+q=5を満たす p ≧1, g≧2 である整数, g の値は
(p, q)=(1, 4), (2, 3), (3, 2)
r=p-1, s=q-2に代入して, 条件を満たす p, g,r,s の値
の組は
(p, q, r, s)=(1, 4, 0, 2), (2, 3, 1, 1), (3, 2, 2, 0)
したがって 求める係数は
-90-15=-105
=105+420+210=735
練習 次の等式が成り立つことを証明せよ。
5 (1) C.-C₁+C
----+ (-1) C
(2) が奇数のとき
(3) nが偶数のとき C+C2+......+
← を消去する。
|←4g=12-3p0 からか
の値を求めてもよいが,
p=0, 1, 2,3,4となり,
調べる手間が1つ増える。
←p+g+r=5から
r=5-(p+q)
←0! -1
|< ( ² ) =a ²*,
(1)²=6*
←rs を消去。
数学ⅡI
←p-120, q-220
←0!=1
Ca+sC2+..+Ca-,="Ci+,C3+......+. Ca=2
C=C+C+......+Cｶー｣2"-)
HINT (1+x)" の展開式を利用して証明する。
(2) (3) (1+x) の展開式において、x=1 を代入した等式とx=-1 を代入した等式を組み合
わせる。
-3
1章
練習
[式と証明]
18
5!
blair!
基本
r
解答
注意
(x²)³+ (-2) + (-)"
指針 多項定理から,一般項は
多項展開式とその係数 (2)
の展開式における定数項を求めよ。
5!
plair()-1 (p+q+r=5, p≥0, 920, 720)
この式を指数法則 = x(x")"=x="x"x"=x+" (p.16 参照)を使っ
1
展開式の一般項は
5!
Digir! (=) *.1
Ax" の形に整理する。 そして、 定数項⇔x"=1⇔B=0 であることから、
(すなわち xの指数部分が0) を満たす 0以上の整数 (p.g.r) の組を求める。
·1'=
p2q=0から
これを①に代入して
5!
p!q!r!
ただし p+g+r=5 ......
定数項は, 2g=0のときである。
5!
0!0!5!
+
5!
pla!r! XP-29
D. p≥0, q≥0, 20
1
p=2q ②
3q+r=5
r = 5-3q
5-3q20
≧0であるから
gは0以上の整数であるから
g=0.1
q=0のとき r=5 q=1のとき Y=2
よって, ② から (p, q. r)=(0, 0, 5), (2, 1, 2)
したがって, 定数項は
5!
2!1!2!=1+30=31
(*)のままで考えてもよい。
XP
定数項は, x2=1 とすると, x = x 27 から
以後は、上の解答と同じになる。
(*)
(2)
2) (a + b + ² + ²)² [ab²]
p=2q
0000
1.
200
この条件を活かす。
練習 次の展開式における, [ ]内に指定された項の係数を求めよ。
4
(1) (x²−x³− ³)² [x²]
5-3g≧0から²
=53gから。
0!=1
【(2) 関西学院大) 2
基本
(1) knC=
(2) (1+x)*
(ア) n Cot
(イ) Co-
(ウ) Co-
指針
解答
(2)
②5
(1)
n,
(2)
し
(ア
(1
練習 次
(1)
(2)
(3
ありがとうございます