br
日本の
571 三角)
△ABCにおいて、辺BCの中点をMとし, AMB,
AMCの二等分線が辺AB, AC と交わる点をそれぞれD
とする。このとき, DE // BC であることを証明せよ。
p.447 基本事項, p.448 基本事項 2
指針
平行であることの証明に,平行線と線分の比の性質を利用する。
p.447 基本事項(2) の から
DE/BC AD:DBAE: EC
AMAB において, MD は ∠AMB の
解答 二等分線であるから
したがって, p.448 基本事項定理1(内角の二等分線の定理) を用いることによ
り、
を導くことを目指す。
CHART 三角形の角の二等分線と比 (線分比)=(2辺の比)
AD: DBMA: MB ・・・・・・ ①
AMAC において, ME は ∠AMCの
二等分線であるから
AE: EC=MA:MC
Mは辺BCの中点であるから
MBMC
よって, ② は AE: ECMA: MB
ゆえに、①から
AD: DB=AE: EC
DE // BC
B
DA
M
V
M
E
B
E
練習 △ABCの辺AB, AC 上に, それぞれ頂点と異なる任意
71 の点D､Eをとる。 D から BEに平行に,また, Eから
CD に平行に直線を引き, AC, AB との交点をそれぞれ
F G とする。 このとき, GF は BCに平行であることを
証明せよ。
C
D
ND
M
(線分比) (2辺の比)
(線分比) (2辺の比)
したがって
図形の証明問題の取り組み方
検討
図形の証明問題では、証明したいもの (結論) から逆に考えることが多いが, 証明が苦手な
人は、問題文中の図形に関する用語や記号を で囲むなどして、方針を見つけやすくす
るとよい。上の例題では
平行線と線分の比の性質。
① ∠AMB の二等分線 ∠AMCの二等分線 → 定理1の利用
② DE / BC → ・平行線と線分の比の性質の利用
といったことが見えてくる。 なお, 問題文に図がない場合は,まず図をかくことから始
B
D
練習 △ABCにおいて, AB=5,BC-4, CA-3とし、∠Aの二
②70 等分線と対辺BCとの交点をPとする。 また、頂点Aに
おける外角の二等分線と対辺BCの延長との交点をQと
する。 このとき, 線分BP, PC, CQの長さを求めよ。
金沢工大
APは∠Aの二等分線である
から
BP: PC AB: AC
すなわち
BP (4-BP)=5:3
よって
5(4-BP)=3BP
5
すなわち
5
5-
練習 △ABCの辺AB, AC 上に
②71
ゆえに
BP=
AQは頂点Aにおける外角の二等分線であるから
BQ CQ=AB:AC
(4+CQ): CQ=5:3
5CQ-3(4+CQ)
AG-AF
AB
AC
P
AD AG AF AE
AB AD
AE AC
PC=4-BP=4-
また
△ABE において, DF // BE であるから
AD AF
①
AB
AE
△ADCにおいて, GE // DC であるから
AG AE
(2)
AD AC
① ② の辺々を掛けると
C
△ABCの辺ABのAを越え
る延長上に点Dをとり,辺
AB上にAC=AE となるよ
うな点Eをとる。
BQ: QC=AB:ACのとき,
BQ: QC=AB AE から
3
よって
B
B
ゆえに CQ=6
それぞれ頂点と異なる任意の点D, Eをと
る。 D から BE に平行に、 また, E. から CD に平行に直線を引き, AC.
AB との交点をそれぞれF, G とする。 このとき, GF は BC に平行で
あることを証明せよ。
5 3
2
2
E
AQ/EC
Q
GF // BC
←BP:PC-
BP=
5+3
PC 5+
としてもよ
←BQC
練習 AB AC である△ABCの辺BC を AB:AC に外対するを見す
②72 ∠Aの外角の二等分線であることを証明せよ。
CQ==
としても
数式す
比例式に直すと分かりやすくなりました。
ありがとうございました