Question

さこ

【√を含んだ方程式、不等式】に関する質問です。
問題の最初では前提として√の中が0以上であると書かれています。

そして(ア)の解説では【2x−x^2が0以上である】から【√の中が0以上である】ことが保証されると書いてあります。
2x−x^2は上に凸のグラフです。明らかに0未満の点をとるのに【√の中が2x−x^2であること】が【√の中が0以上であること】を保証している理由がよくわかりません。
もし前提として【√の中が0以上】であるから【2x−x^2が0以上】でなければならない、ということであればなぜその条件を満たすxの範囲がなぜ追加されていないんでしょう🤔

また(イ)の条件に関しても疑問があります。
√は0以上だから【x+1】が0より大きい必要があることはわかります。
でもなぜ【5−x>=0】という条件が追加されているのですか？
【√の中が5−x】であることは【√の中が0以上】であることを保証できないのですか🧐

どなたかわかりやすい言葉で2問とも解説してほしいです🙇🏼

(ア)√2x-x=1-2x を満たす実数xの値は [
(イ) √5-x<x+1を解け.
(ウ) 不等式√x+1≧2x-1 を満たす』の範囲は
03 ルートがらみの方程式・不等式を解く一
..
]である.
ルートがらみの方程式・不等式のことを, 無理方程式 無理不等
図形問題を解くときにも現れる
式と言う。 教科書的には数Ⅲの内容だが, 図形問題を解くときにも (解法によっては) 現れることがあ
るので,ここで練習しておくことにしよう.
解くときの注意点
2乗してルートを解消するが,その際に注意が必要である.
である.
・2乗すると同値性がくずれる. 例えば, A=B⇒A'=B' であるが, A'=B' # A=Bである
A'ZBであ
A2≧B」という同値変形ができるの
解答量
(7) √2x-r² =1-2x ⇒1-2x²0 ƒ› 2x−x²=(1−2x)²
①を整理すると, 5x²-6x+1=0 :: (r−1)(5r-1)=0
-1<x≦5 かつ (x+4) (x-1) > 0
(ウ) √x+1≧2x-1 ① のとき, x+1≧0
1°②かつ 2ェー1<0, つまり -1≦x<1/12 のとき
(例えば,A=-2,B=2のとき, A2=B2 だが,A = B ではない).また, A≧B
る(例えば,A=1, B=-2のときを考えよ)『A≧B
は,A≧0かつ B≧0のときである. 両辺が0以上なら, 2乗しても同値である.
・ルートの中は0以上であり,
の値は0以上である。
実際にどのようにするかは,以下の解答で.
1-2≧0 を満たすxを求めて, x=-
(1) √5-x<x+1 ⇒ 5¬x≥0h»x+1>0 A»5−x<(x+1)²
... -1<x≦5 かつ x2+3x-4>0
(京都産大・理系)
(龍谷大・理系(推薦))
(東洋大)
∴.1<x≦5
x≧-1
は成り立つ。
5
よってStea であり.xml/1/2とから、1/12ss20 5
4
1°,2°により, 答えは、-1≦xs 20
5
2°②かつ2x-1≧0, つまりx≧
x≧1/2のとき,① の両辺を2乗しても同値で,
x+1≧(2x-1)2 .. 4x²-5x≤0 : x(4x-5) ≤0
← ① のとき,右辺≧0 により
2x-2≧0であるから, ルートの
中は0以上であることが保証さ
れる.
x+1>√5-x≧0 により,
x+1>0.
←-1<x≦5のとき,x+4>0
← ①の右辺の符号で場合分け. ②
のとき, ①の右辺 < 0 なら ① は成
立。

-4
-3
f(x) = -x²+2x
-2
-1
4
-3
2
1
0
--1
-2-
-3
-4
1
2
3
4

無理方程式 無理不等式

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

Ken

失礼します。
まず(ア)について。
√を外したい訳ですが、2乗する際の条件を思い出してください。
(解く時の注意点)の3行目の例にあるように、A^2＝B^2をA=Bと同値変形するには、A>=0, B=>0である必要がありました。
これを具体的に数字を当てはめてみます。
A=√2x-x^2, B =1-2xとします。
第一条件:B =1-2x>0(これは既にテキストに書かれていますよね)、ここでB=>0を条件づけてBを2乗します。
実数^2は必ず正になります。
なので、B=正、A=BよりA=正、となります。
これで同値変形する際我々が気をつけなければならないA>=0, B=>0の条件をクリアできたので、無事第ニ条件である2x-x^2=(1-2x)^2が成り立ちます。
取り急ぎここまで。
わかりにくい箇所があればまた質問してください！
OKなら(イ)も引き続きご説明差し上げます。

さこ

コメントありがとうございます。
「なので、B=正、A=BよりA=正、となります。」からよくわからないです。。
どちらかが負だとしても二乗同士は同値になってしまうのでどちらも正と保証されている理由がわからないんです🙇🏻‍♂️

Ken

恐らく、必要十分の矢印を混同していらっしゃるかもしれません。
さこさんは十分条件(A=BよりA^2=B^2)について述べられているようですが、本文は必要条件(A^2=B^2よりA=B、になるとは必ずしも限らない)によって同値であることを担保しています。
そのため、A>=0, B=>0を保証することによって同値変形を可能にしています。
もっと言えば、ここまでくると言葉の綾ですが、いつのまにか勝手に保証されるのではなく、同値変形したいがためにA>=0, B=>0を自ら保証「する」と言った方がわかりやすいかもしれません。
お言葉を借りるとするなら、『どちらも正と保証”する“』ことが、同値変形の鍵です。
初めに同値変形をする、という目的があることを忘れないでください。
またご質問あればwelcomeです！

さこ

コメント遅くなって申し訳ありません。
丁寧に説明してくださりありがとうございます🙇🏻‍♂️
理解できました！

Answer 2

飛鳥

アに関しては二式は等号で結ばれているので、左辺＝右辺になる必要があります。√がついているので左辺は必ずゼロ以上　　ならば右辺もゼロ以上になる必要があります。
両辺二乗した結果、左辺が(何かの式)の二乗になっているので左辺はゼロ以上になりますね？ならば右辺もゼロ以上となるので根号内がゼロ以上の値しか取らないことになります。

飛鳥

もし、円の式を習っていたら求める等式の左辺=yとおいて、緑の線で描かれたものが円であることは理解できると思います

飛鳥

イは不等号なので⑴のような処理ができません。
なので左辺がゼロ以上であることを言う必要が有ります